2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение25.05.2011, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Ясно. Спасибо за помощь! А задачи 1.1 и 1.2 можете посмотреть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение25.05.2011, 19:02 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
С задачами 1.1 и 1.2 у Вас всё в порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение25.05.2011, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Спасибо ещё раз :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение29.05.2011, 09:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
В учебнике написано
Цитата:
Так как $\mathbb Z[i]\simeq \mathbb Z[t]/(t^2+1)$ *, то $\mathbb Z[i]/(p)\,{\color{blue}\simeq}\, \mathbb Z[t]/(t^2+1,p)\,{\color{blue}\simeq}\,\mathbb Z_p[t]/(t^2+1)$.

Не понимаю синих изоморфизмов. Как $(\mathbb Z[t]/(t^2+1))/(p)$ превратилось в $\mathbb Z[t]/(t^2+1,p)$ ? По-второму я знаю, что $\mathbb Z[t]/(p)=\mathbb Z_p[t]$, но тут же другой случай... вот если бы было $(\mathbb Z[t]/(p))/(t^2+1)$, тогда понимаю. То есть почему то $(t^2+1)$ и $(p)$ автор переставил, но почему -- я не понимаю.

_________
* Тут $(S)$ обозначает идеал, порождённый множеством $S$. Кстати, нет ли какого-нибудь другого общепринятого обозначения? Просто скобки уже перегружены выше некуда. Угловые скобки тоже уже заняты за "обычным" порождением (линейная оболочка и т. п.).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение29.05.2011, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Задача 1.10. Доказать, что для любого простого $p\neq 2$ группа $\mathbb Z_{p^k}^*$ циклическая. (Указание: доказать, что элемент $[p+1]_{p^k}$ этой группы имеет порядок $p^{k-1}$.)

Не могу даже доказать то, что требуется в указании. Есть соблазн применить теорему Ферма--Эйлера, но она не помогает: $(p+1)^{p^{k-1}(p-1)}\equiv 1\pmod {p^k}$, но отсюда не следует, что $(p+1)^{p^{k-1}}\equiv 1$ :oops: И даже, если докажем последнее сравнение, то это не значит, что $p^{k-1}$ является порядком -- вдруг он просто кратен порядку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение29.05.2011, 14:49 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Это из какой книжки Вы взяли задачу 1.10? Обычно факт цикличности группы $\matbb{Z}_{p^k}^*$ выводят из теоремы о существовании первообразного корня по модулю $p$ (теорема Гаусса). Кстати, при $k=1$ указание, мягко говоря, не очень указывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение29.05.2011, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
nnosipov
Винберг "Курс алгебры" (Гл. 9, $\S$1). (Пока все задачи, что я по алгебре публикую -- из него. Цитата из позапрошлого сообщения тоже оттуда.) Я думаю, раз задача привелась, то её можно решить известными средствами. Вот даже подсказка дана.

(Оффтоп)

Про первообразные корни я уже слышал (у Винберга же, в примере было): это порождающий элемент группы $C_n$ корней $n$-й степени из единицы. Так как $C_n\simeq \mathbb Z_n$, то, наверное, можно более общо сказать -- что это порождающий элемент циклической группы. А что такое "первообразный корень по модулю $p$"?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение29.05.2011, 15:29 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
caxap в сообщении #451575 писал(а):
nnosipov
Винберг "Курс алгебры" (Гл. 9, $\S$1). (Пока все задачи, что я по алгебре публикую -- из него. Цитата из позапрошлого сообщения тоже оттуда.) Я думаю, раз задача привелась, то её можно решить известными средствами. Вот даже подсказка дана.

(Оффтоп)

Про первообразные корни я уже слышал (у Винберга же, в примере было): это порождающий элемент группы $C_n$ корней $n$-й степени из единицы. Так как $C_n\simeq \mathbb Z_n$, то, наверное, можно более общо сказать -- что это порождающий элемент циклической группы. А что такое "первообразный корень по модулю $p$"?)

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #451565 писал(а):
Кстати, при $k=1$ указание, мягко говоря, не очень указывает.

При $k=1$ задачу можно доказать, используя теорему о том, что если порядок группы равен её экспоненте, то эта группа циклическая.

Первообразный корень по модулю $p$ --- это так в элементарной теории чисел называют порождающий элемент циклической группы $\mathbb{Z}_p^*$ (точнее, любое целое число $g$ такое, что $[g]_p$ есть порождающий элемент $\mathbb{Z}_p^*$). Но то, что эта группа действительно циклическая --- надо ещё доказать (это и есть теорема Гаусса). Так же как и то, что порядок этой группы равен её экспоненте. Это хорошее упражнение, начните с него. А потом уже и для произвольного $k$ сделайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение29.05.2011, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
nnosipov в сообщении #451584 писал(а):
Так же как и то, что порядок этой группы равен её экспоненте. Это хорошее упражнение, начните с него.

Я уже его проработал. Если $\exp \mathbb Z_p^*=m$, то $x^m=1$ для всех $x\in \mathbb Z_p^*$, но $\mathbb Z_p$ -- поле, поэтому в нём уравнение $x^m=1$ имеет не более $m$ различных решений $x$, поэтому $m\le |\mathbb Z_p^*|\le m$. Для произвольного $k$ уже не выйдет, т. к. $\mathbb Z^*_{p^k}$ перестанет быть полем.

-- 29 май 2011, 17:40 --

Может как-нибудь доказать, что $\mathbb Z_{p^k}^*\simeq \mathbb Z_{p^{k-1}}\oplus \mathbb Z_{p-1}$? Отсюда, т. к. $p^{k-1}\perp (p-1)$, будет следовать, что $\mathbb Z_{p^{k-1}}\oplus \mathbb Z_{p-1}\simeq \mathbb Z_{p^{k-1}(p-1)}$.

-- 29 май 2011, 17:42 --

Последняя идея -- доказать $\exp \mathbb Z_{p^k}^*=p^{k-1}(p-1)$. (Я знаю, что экспонента равна наибольшему инвариантному множителю, но, наверное, это не поможет.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение29.05.2011, 16:53 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
caxap в сообщении #451617 писал(а):
nnosipov в сообщении #451584 писал(а):
Так же как и то, что порядок этой группы равен её экспоненте. Это хорошее упражнение, начните с него.

Я уже его проработал. Если $\exp \mathbb Z_p^*=m$, то $x^m=1$ для всех $x\in \mathbb Z_p^*$, но $\mathbb Z_p$ -- поле, поэтому в нём уравнение $x^m=1$ имеет не более $m$ различных решений $x$, поэтому $m\le |\mathbb Z_p^*|\le m$. Для произвольного $k$ уже не выйдет, т. к. $\mathbb Z^*_{p^k}$ перестанет быть полем.

Да, всё верно. Немного теории многочленов плюс теоретико-групповые конструкции --- и дело сделано. (Но Гаусс изящно без всего этого обошёлся.) Что делать в случае $k>1$? В теории чисел просто предъявляют порождающий элемент группы $\mathbb{Z}_{p^k}$. А что делают в теории групп? Боюсь, что то же самое.

А, вот теперь понятно указание. Ну что же, Вы на правильном пути.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение29.05.2011, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
nnosipov в сообщении #451633 писал(а):
Ну что же, Вы на правильном пути.

Если честно, я не продвинулся дальше того, что уже написал :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение30.05.2011, 17:47 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
caxap в сообщении #451644 писал(а):
nnosipov в сообщении #451633 писал(а):
Ну что же, Вы на правильном пути.

Если честно, я не продвинулся дальше того, что уже написал :-(

Как у Вас дела в решении задачи 1.10? Винберг предлагает такой путь решения: 1) найти в $\mathbb{Z}_{p^k}$ элемент порядка $p-1$; 2) доказать, что элемент $[p+1]_{p^k}$ имеет порядок $p^{k-1}$; 3) сварганить из этих двух элементов элемент порядка $(p-1)p^{k-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение30.05.2011, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
nnosipov
Не выходит 1). Пробовал также брать конкретные $\mathbb Z_{p^k}^*$, но закономерности не увидел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение30.05.2011, 18:56 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
caxap в сообщении #451432 писал(а):
В учебнике написано
Цитата:
Так как $\mathbb Z[i]\simeq \mathbb Z[t]/(t^2+1)$ *, то $\mathbb Z[i]/(p)\,{\color{blue}\simeq}\, \mathbb Z[t]/(t^2+1,p)\,{\color{blue}\simeq}\,\mathbb Z_p[t]/(t^2+1)$.

Не понимаю синих изоморфизмов. Как $(\mathbb Z[t]/(t^2+1))/(p)$ превратилось в $\mathbb Z[t]/(t^2+1,p)$ ? По-второму я знаю, что $\mathbb Z[t]/(p)=\mathbb Z_p[t]$, но тут же другой случай... вот если бы было $(\mathbb Z[t]/(p))/(t^2+1)$, тогда понимаю. То есть почему то $(t^2+1)$ и $(p)$ автор переставил, но почему -- я не понимаю.

_________
* Тут $(S)$ обозначает идеал, порождённый множеством $S$. Кстати, нет ли какого-нибудь другого общепринятого обозначения? Просто скобки уже перегружены выше некуда. Угловые скобки тоже уже заняты за "обычным" порождением (линейная оболочка и т. п.).

Нет, другого обозначения под идеал вроде нету, по крайней мере, я не встречал.

Теперь по изоморфизмам: я буду рассматривать общий случай. Итак, коммутативное кольцо с единицей $A$, даны $a,b\in A$, пусть $\alpha\colon A \to A/(a)$ — естественный изоморфизм $\alpha(x) = \overline{x}$, где $\ovelrine{x} = x + (a) \in A/(a)$.

Рассмотрим гомоморфизм $f\colon A \xrightarrow{\text{на}} (A/(a))/(\overline b)$ и отыщем его ядро $\ker f = \{x \in A \mid \overline x \in (\overline b) \}$:

\begin{multline*}\overline x \in (\overline b) \Longleftrightarrow \exists y \in A\colon \overline x = \overline b \overline y \Longleftrightarrow \exists y \in A\colon \alpha(x) = \alpha(b) \alpha(y) \Longleftrightarrow \exists y \in A\colon \alpha(x - by) = 0 \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow \exists y \in A\colon x - by \in \ker\alpha = (a) \Longleftrightarrow \exists y,z \in A\colon x - by = az \Longleftrightarrow \exists y,z \in A\colon x = az + by \Longleftrightarrow x \in (a,b).
\end{multline*}

Таким образом, $\ker f = (a,b)$, и по теореме о гомеоморфизме $f$ индуцирует изоморфизм $(A/(a))/(\overline b) \cong A/(a,b)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по коммутативной алгебре
Сообщение30.05.2011, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Joker_vD
Спасибо за разъяснения!

(Оффтоп)

А вообще, это должно быть всё очевидно? То есть подразумевается, что читатель, который только две страницы назад узнал слово "идеал", должен воспринять "синие" изоморфизмы как очевидные? (Мне даже понадобилось минут 10, чтобы осознать ваш разобранный текст. Это плохо? Я занимаюсь по учебникам дома сам и поэтому, к сожалению, не могу оценить свой уровень (нету массовки, как в университете, с кем можно сравниться). Вот, скажем, те задачки, что я публикую (например 1.10) -- они какие по сложности (троешные, 4-шные, 5-шные)?)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group