функциональное уравнение (школьное)

[Dimonelite]

$f(x-1/x)+xf(1/x)=2$, $x\ne0$, $x\ne 1$
Как решить такое простое функциональное уравнение? Заранее благодарен

[Гость]

Полагая в данном уравнении сначала х=1/х, а потом х=-х, получим 2 уравнения, каждое из которых содержит слагаемое f(x-1/x), после исключения которого получим: f(x)=-xxf(-1/x). Выглядит проще первоначального.

[незваный гость]

Условие необходимое, но, к сожалению, не достаточное. $f(x)=-x^2 f(-\frac{1}{x}) \Leftrightarrow -x\,f(-\frac{1}{x})=\frac{1}{x} f(x)$. Вводя $h(x)\leftrightharpoons \frac{f(x)}{x}$ имеем $h(x)=h(-\frac{1}{x})$. Поелику $x \leftrightarrow -\frac{1}{x}$ меняет интервалы $(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$ местами, то мы можем определить $h(x)$ произвольно на $(0,+\infty)$, и достроить на $(-\infty,0)$. Сие неверно относительно исходного уравнения.

[Dan_Te]

У меня получилось $f(x)=-\frac{1}{x^2}f(-\frac 1 x), g(x) = x\cdot f(x)$
Еще можно потребовать $f(x)\sim\frac 2 x\, \mbox{при}\,x\to\pm\infty.$ Но для исходного уравнения этого все равно не достаточно.

[Dimonelite]

Anonymous писал(а):

Полагая в данном уравнении сначала х=1/х, а потом х=-х, получим 2 уравнения, каждое из которых содержит слагаемое f(x-1/x), после исключения которого получим: f(x)=-xxf(-1/x). Выглядит проще первоначального.

выглядит действительно проще. наверно потом надо все это куда-нибудь подставить и найдем $f(x)$

[Dimonelite]

Anonymous писал(а):

Полагая в данном уравнении сначала х=1/х, а потом х=-х, получим 2 уравнения, каждое из которых содержит слагаемое f(x-1/x), после исключения которого получим: f(x)=-xxf(-1/x). Выглядит проще первоначального.

такими подстановками мы получим:
$f(x-1/x) + xf(1/x) = 2 f(1/1-x) + 1/xf(x) = 2 f(x-1/x) - xf(-1/x) = 2$
отсюда мы можем получить только что
$xf(1/x)=-xf(-1/x)$

[Гость]

При х=sqr(2) x-1/x=1/x . Теперь можно найти:
f(1/sqr2)=-2(1-sqr2)
f(-1/sqr2)=-2(1+sqr2)
f(sqr2)=4(1+sqr2)
f(-sqr2)=4(1-sqr2).

[Демон]

Вообще-то в задаче нужно найти f(x)

[popa]

Если x все R кроме нуля, то представим f как f=g+h, где g - четная , h - нечетная. Подставим в уравнение, потом сделаем замену х -> -х. Полученные 2 уравнения складываем: g(x-1/x)+xh(1/x)=1 (*). Сделаем замену х -> 1/х. Из этих уравнений видно, что h(x) = x H(x), где H(x) - произвольная функция, такая что H(x)=H(1/x). g(y) определяется из (*).

[незваный гость]

1) В условиях задачи решения не сущестует. А именно, рассмотрим $u(x) \leftrightharpoons \frac{1}{x}-x$, $g(x) \leftrightharpoons 2 - \frac{1}{x} f(x)$. Тогда исходное уравнение перепишется в виде $f(u(x)) = g(x)$. Применяя к $u(x)$, имеем $f(u(u(x))=g(u(x))$. Заметим, что $g(u(x))=2 - \frac{1}{u(x)} f(u(x)) = 2 - \frac{1}{u(x)} g(x)$, и, таким образом, есть линейная функция от $f(x)$. Нас интересует $f(u(u(u(x))))$ и, соответствующее выражение в правой части. Уравнение $u(u(u(x)))=x$ имеет восемь вещественных корней. При $x$ явлющемся корнем $x^3-x^2-2x+1=0$, уравнение упрощается до $f(u(u(u(x)))) = f(x) = \left(2-\frac{2x}{x^2-x-1}\right) +f(x)$. Оно, очевидно, решения относительно $f(x)$ не имеет, что и доказывает, что не существует $f(x)$ определенной на $\mathbb R \setminus \{0,1\}$.

2) Обозначим $u^{(0)}(x)=x$, $u^{(k)}(x)=u(u^{(k-1)}(x))$. Тогда семейство уравнений $u^{(k)}(x)=u^{(m)}(x)$ ($k \neq m$) задает множество $x$, для которых $f(x)$ определена однозначно, или не существует. Обозначим его $U=\{x: u^{(k)}(x)=u^{(m)}(x) \wedge k \neq m\}$. Очевидно, что оно не более, чем счетно.

Введем семейство множеств $X_{x,k}$. $X_{x,0}=\{x\}$, $X_{x,k}=\{u(x): x \in X_{x,k-1}\} \cup \{x: u(x) \in X_{x,k-1}\}$. Теперь $X_{x}=\bigcup\limits_{k=0}^{\infty}X_{x,k}$. Тогда $X_{x}$ суть разбиение $\mathbb R$. Каждое из них не более чем счетно. Если $X_{x} \cap U$ не пусто, то значение функции $f(x)$ определено основным уравнением. В противном случае, $f(x)$ может быть определено произвольным образом для любого представителя $X_x$, и распространено по основному уравнению для всех остальных элементов.

3) В предположении аналитичности, в окрестности бесконечности $f(x)=2 \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k x^{-k}$. Подставляя в уравнение, мы можем решать его последовательно относительно коеффициентов $a_k$. Имеем $f(x)=2(1 + x^{-1} - x^{-2} - 2 x^{-3} + 4 x^{-4} + 9 x^{-5} - 22 x^{-6} -56 x^{-7} + 152 x^{-8} + 428 x^{-9} - 1257 x^{-10} + ...)$. Ряд сей, похоже, сходится при $|x| > 4$ (по крайней мере). Все ето хорошо, но вот точки из $U$ на него ну накак не ложаться.

4) Nota Bene - это эксперимент. Если взять $x$ произвольно, то последовательнось $(u^{(k)}(x), f(u^{(k)}(x)))$ быстро ложиться на некоторую гладкую кривую $\hat{f}(x)$. Она (кривая) не зависит от начального выбора $(x,f(x))$, и хорошо совпадает с ассимптотикой задаваемой рядом из п. 3. Можно предположить, что существует непрерывная на $\mathbb R \setminus U$ функция, удовлетворяющая основному уравнению. Кабы не пара проблем. Во-первых, какие-то шальные точки все время попадаются (они могут быть, конечно, и ошибками приблизительных вычислений). Во-вторых, поведение около нуля должно тогда определяться тем же рядом $f(x)=-x^2 f(-1/x)$. Самое противное - промежуток $[1/4,4]$ - там то функция и пляшет, как может... В общем - непонятка. В конце концов, непонятно, можно ли вообще определить непреывность на $\mathbb R \setminus U$.

[незваный гость]

popa писал(а):

Если x все R кроме нуля, то представим f как f=g+h, где g - четная , h - нечетная. Подставим в уравнение, потом сделаем замену х -> -х. Полученные 2 уравнения складываем: g(x-1/x)+xh(1/x)=1 (*). Сделаем замену х -> 1/х. Из этих уравнений видно, что h(x) = x H(x), где H(x) - произвольная функция, такая что H(x)=H(1/x). g(y) определяется из (*).

Я попробовал взять $H(x)=1$ и $H(x)=x^2+x^{-2}$. Что-то не вышло-с.

[Демон]

в условии x<>0 И x<>1!!! и вообще как ты вы сложно объясняете. это функциональное уравнение дают в 9 классе.

[Dan_Te]

Демон писал(а):

это функциональное уравнение дают в 9 классе.

"Посмотрите, дети, какие крючочки красивые!"
=)))

[ШалТайКа]

Dan_Te писал(а):

Демон писал(а):

это функциональное уравнение дают в 9 классе.

"Посмотрите, дети, какие крючочки красивые!"
=)))

[незваный гость]

Демон писал(а):

в условии x<>0 И x<>1!!! и вообще как ты вы сложно объясняете. это функциональное уравнение дают в 9 классе.

Девятый класс - это дополнительное условие, которое указанно не было. Да-с. Очень существенное условие, ибо делает законным преобразование исходного уравнения из $f(x-1/x)+xf(1/x)=2$ в $f((x-1)/x)+xf(1/x)=2$ - скобочки в девятом классе не принято ставить.

Теперь, заменяя $x \to \frac{1}{x}$, имеем $f(1-x) + \frac{f(x)}{x}=2$. Заменяя $x \to {1-x}$, получаем парное: $f(x) + \frac{f(1-x)}{1-x}=2$. Исключаем $f(1-x)$, и имеем $f(x)=\frac{2 x^2}{x^2 - x + 1}$. Проверяем, подставляя в исходное уравнение - работает! Ура, каникулы! И даже в $0$ и $1$!

P.S. "А вы изволите толковать про пятое измерение".
P.P.S. А вот мне больше нравиться исходное уравнение