2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Полином 6-й степени задающий 11 окружностей
Сообщение29.10.2006, 18:27 


29/10/06
9
Математик дал задачку. Написать полином 6-й степени задающий 11 овалов. Долго думал, никак не могу понять, как можно понижая степень ещё и добавлять количество окружностей! Он сказал, что, по-моему, этой задачей, в своё время, занимался ещё Гильберт. Может кто объяснит?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.10.2006, 18:41 


12/02/06
110
Russia
Арнольд В. И. Что такое математика?—М.: МЦНМО, 2002.— 104 с.
см. стр. 39.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2006, 16:56 


29/10/06
9
Интересно както получается... Такого не может быть??? Тоесть нас просто провел приколист-учитель?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2006, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
young писал(а):
Интересно как-то получается... Такого не может быть??? Тоесть нас просто провел приколист-учитель?


Почему "не может быть"? В указанном Вам месте написано:

Цитата:
Наибольшее число компонент связности вещественной алгебраической кривой равно $g+1$, где $g$ — род кривой (т. е. для гладкой кривой степени $n$),— это «теорема Харнака». По этой теореме, например, наибольшее число компонент связности («овалов», диффеоморфных окружности, ограничивающей круг) у алгебраической кривой степени $6$ равно $11$.


Кстати, овал - это не обязательно окружность.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2006, 19:36 


29/10/06
9
Цитата:
Кстати, овал - это не обязательно окружность.
Вообще, речь идёт о элипсе, а это общее название и того и другого.
Цитата:
В указанном Вам месте написано

Про теорему Харнака я знал, но кроме того, что, судя по ней, такой полином существует, больше математически это негде не подтвеждено... Такие, вот, у нас на 1-м курсе домашние задания ;-)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2006, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
young писал(а):
Вообще, речь идёт о элипсе, а это общее название и того и другого.
Цитата:
В указанном Вам месте написано


Нет, не обязательно эллипс. Овал - просто замкнутая кривая.

Я вот пытался придумать такой многочлен, но не получилось. Идея может быть такая: возьмём 6 прямых $A_kx+B_ky+C_k=0$, $1\leqslant k\leqslant 6$, расположенных так, чтобы никакие две из них не были параллельны, и никакие три не проходили через одну точку. И нужно рассмотреть кривую $\prod\limits_{k=1}^6(A_kx+B_ky+C_k)+\varepsilon=0$ при малых $\varepsilon$. Но там, кажется, больше 8 овалов не получается. Надо какие-то усовершенствования внести. Может быть, рассмотреть $(x^2+y^2)^3+\delta\prod\limits_{k=1}^6(A_kx+B_ky+C_k\varepsilon)=0$? Не знаю, никогда с такой задачей не сталкивался.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2006, 21:52 


29/10/06
9
??? Интересно! Как это Вы суммированием добавляете ещё 3 окружности!? Это можно делать ТОЛЬКО произведением!

Цитата:
Но там, кажется, больше 8 овалов не получается

Там их макисмум 9. Есть вариант когда графически это выглядит так:
Изображение
Тогда при расхождении получится соответственно:
Изображение
Либо делать тоже самое с прямыми, но тут уже нужно думать как их располагать, но, как я не крутил, всёравно выходят теже 9, только уже нужно работать с плоскостью RP, потому что кривые получаются бесконечными.
Однако, математик, ехидно усмехаясь над моими конвульсионными попытками решения, сказал, что решение эта задача имеет и в итогде получается окружность, содержащая в себе 9 других, и, цетирую дословно, : "Небольшой овальчик рядом". Если комуто ещё интересна эта задача, подумайте, пожалуйста, я сам не очень смышлёный, а решить очень хочется, я пытаюсь, чесно-чесно! :D [/math]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2006, 22:09 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
А пересекающиеся овалы допускаются?
Например типа $\prod_i((x-a_i)^2+(y-b_i)^2-1)=0$,
когда 3 окружности пересекаются как олимпийские кольца, можно считать, что образовались семь овалов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2006, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Руст писал(а):
А пересекающиеся овалы допускаются?
Например типа $\prod_i((x-a_i)^2+(y-b_i)^2-1)=0$,
когда 3 окружности пересекаются как олимпийские кольца, можно считать, что образовались семь овалов.

А можно ли найти такие две функции x(t),y(t) от t, чтобы $\prod_i((x(t)-a_i)^2+(y(t)-b_i)^2-1)=0$? Кажется, это называется проблемой униформизации?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2006, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
young писал(а):
Изображение ??? Интересно! Как это Вы суммированием добавляете ещё 3 окружности!? Это можно делать ТОЛЬКО произведением!


Ну, я имел в виду добавление бесконечно удалённой прямой на проективной плоскости. Но, кажется, не получается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2006, 19:04 


29/10/06
9
Руст
Цитата:
А пересекающиеся овалы допускаются?

А как Вы это себе представляете?
f(x)=e , где при крайне малых е должно начаться расхождение в сторону + или - в зависимости от знака e, а тут основной принцип и заключается в том, что при расхождении ну никак не может получиться каких-либо пересечений!
PSP
Цитата:
А можно ли найти такие две функции x(t),y(t)

:shock: Чесно говоря, не очень понял Вашу мысль. Скажем, если f(x) будит полиномом 1-й степени, то такое произведение ещё возможно, но, насколько мне известно, полином 1-й степени кроме прямой особо больше ничего задавать не может. Что же касается 2-й степени, то тут возникает досадная ситуация, поскольку возведение в квадрат даст нам уже 4-ю степень, а даже проиведение двух членов в итоге 8-ю, что противоречит условию, в котором максимальной степенью является 6-я!
Someone Говорят, есть две хорошие книжки "Математическая энциклопедия" и ещё какая-то "23 проблеммы Гильберта", но я даже не знаю, где можно найти хоть одну из них.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2006, 21:32 
Заслуженный участник


31/12/05
1408
http://www.math.uu.se/~oleg/es/1_6Harnack_Curves.html
Здесь есть метод, но я его не до конца понял.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2006, 16:46 


29/10/06
9
tolstopuz Вообще, статья интересная, мой инглиш не есть гуд, но в основные аспекты я вьехал. Только, вот, 6-й степени так и не нашёл. Я так понял, что Харнак рассматривал вторую чатсть 16-й проблеммы Гильберта для 5-й степени?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2006, 16:56 


12/02/06
110
Russia
ru.wikipedia.org писал(а):
Первая (алгебраическая) часть проблемы № 16 более точно формулируется так. Харнаком доказано, что максимальное число овалов равно M=(n-1)(n-2)/2+1, и что такие кривые существуют — их называют M-кривыми. Как могут быть расположены овалы M-кривой? Эта задача сделана до степени n=6 включительно, а для степени n=8 довольно много известно (хотя её ещё не добили). Кроме того, есть общие утверждения, ограничивающие то, как овалы M-кривых могут быть расположены — см. работы Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гильберта (впрочем, стоит учитывать, что в доказательстве Гильберта для n=6 есть ошибка: один из случаев, считаемый им невозможным, оказался возможным и был построен Гудковым). Вторая (дифференциальная) часть остаётся открытой даже для квадратичных векторных полей — неизвестно даже, сколько даже их может быть, и даже что оценка сверху существует. Даже индивидуальная теорема конечности (то, что у каждого полиномиального векторного поля предельных циклов конечное число) была доказана только недавно. Она считалась доказанной Дюлаком, но в его доказательстве была обнаружена ошибка, и окончательно эта теорема была доказана Ильяшенко и Экалем — для чего каждому из них пришлось написать по книге.
Проблемы Гильберта

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2006, 18:54 
Заслуженный участник


31/12/05
1408
young писал(а):
Только, вот, 6-й степени так и не нашёл.
На той странице как раз и рассказывают, как из пятой степени получить все следующие, включая шестую, только это слегка выше моего понимания.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group