2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Задачи по тензорной алгебре
Сообщение11.05.2011, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Сначала вопрос. В учебнике написано
Цитата:
Пусть $V$ -- векторное пространство над полем $K$ и $L$ -- какое-либо расширение поля $K$. Рассматривая $L$ как векторное пространство над $K$, мы можем образовать тензорное произведение $L\otimes V$. Согласно определению, это векторное пространство над $K$. Однако его можно превратить в векторное прсотарнство над $L$, определив умножение на эелменты поля $L$ по правилу
$$\lambda(\mu\otimes v)=\lambda\mu\otimes v\quad (\lambda,\mu\in L,\ v\in V)\,.$$

То есть в последней формуле берётся $\mu\otimes v$ в качестве произвольного элемента $L\otimes V$ и показывается, как на него умножается скаляр. Но ведь в тензорном произведении бывают неразложимые элементы, то есть такие, которые нельзя представить в виде $\mu\otimes v$. :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение11.05.2011, 21:11 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
caxap в сообщении #444848 писал(а):
Но ведь в тензорном произведении бывают неразложимые элементы, то есть такие, которые нельзя представить в виде $\mu\otimes v$. :?:

Зато любой элемент можно представить в виде линейной комбинации $\sum\mu\otimes v$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение11.05.2011, 22:23 


02/04/11
956
+1, доопределяем по линейности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение12.05.2011, 11:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Joker_vD, Kallikanzarid
Спасибо, разобрался.

Теперь задачи.

2.1.а) Доказать, что всякий элемент $z\in V\otimes W$ представляется в виде
$$z=\sum_{k=1}^r v_k \otimes w_k\,,$$
где векторы $v_1,...,v_r\in V$, а также векторы $w_1,...,w_r\in W$ линейно независимы. $r$ равно рангу матрицы координат элемента $z$.

Пусть $(e_i)_{i=1}^n$, $(f_j)_{j=1}^m$ -- базисы в $V,W$ соответственно. Тогда
$$z=\sum\limits_{i,j} z_{ij}\, e_i\otimes f_j=\sum\limits_i e_i\otimes \Big(\sum_j z_{ij} f_j\Big)=:\sum_{i=1}^n e_i\otimes y_i\quad (y_j\in W)\,.$$
А вот дальше не получается. Нам как-то нужно уменьшить число слагаемых, собрав несколько членов вида $e_i\otimes y_i$ в один... Анализ с конца не помог: я даже не знаю, из чего тут может всплыть ранг $(z_{ij})$. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение12.05.2011, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Выделите среди $y_i$ максимальное линейно независимое подмножество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение12.05.2011, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Xaositect, спасибо!

Координатами вектора $y_i$ являются числа $z_{ij}$ ($j=\overline{1,n}$), поэтому ранг матрицы $(z_{ij})$ равен количеству линейно независимых $y_i$. Выберем из них максимальную независимую систему $w_1,...,w_r$, $r=\operatorname{rk}(z_{ij})$. Тогда каждый вектор $y_i=\sum_{k=1}^r a_{ik} w_k$ и
$$\begin{gathered}
z=\sum_{i=1}^n e_i\otimes y_i=\sum_{i=1}^n e_i\otimes \Big(\sum_{k=1}^r a_{ik} w_k\Big)=\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^r a_{ik}\, e_i\otimes w_k=\sum_{k=1}^r \sum_{i=1}^n (...)=\\
= \sum_{k=1}^r\Big(\sum_{i=1}^n a_{ik} e_i\Big)\otimes w_k=:\sum_{k=1}^r v_k\otimes w_k\,.
\end{gathered}$$
Так правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение12.05.2011, 13:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение12.05.2011, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Xaositect, спасибо за проверку.

1.4. $\mathscr A,\mathscr B$ -- линейные операторы в $n$-мерном и $m$-мерном пространстве соответственно. Доказать, что $\operatorname{det} \mathscr A\otimes\mathscr B=(\operatorname{det} \mathscr A)^m\,(\operatorname{det} \mathscr B)^n$.

Тут, наверное, лучше перейти к матрицам. Если матрицы операторы равны соотв. $A=(a_{ij})$ и $B$, то матрицу $A\otimes B$ в блочном виде можно записать как $(a_{ij}B)$. Но как найти её определитель не могу придумать. Пытался через координаты ($\sum (-1)^{i_1 i_2...} ...$) -- запутался, чуть голову не сломал (надо ведь ещё переводить элементы $a_{ij}b_{kl}$ в двухиндексные: при переводе у меня вылезли остатки и целая часть). Наверное, можно проще решить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение12.05.2011, 15:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну, для блочно-треугольной матрицы определитель, как известно, равен произведению определителей диагональных блоков. Вот и выберите базис так, чтобы вся Ваша блочная матрица оказалась блочно-треугольной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение12.05.2011, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
ewert в сообщении #445097 писал(а):
Вот и выберите базис так, чтобы вся Ваша блочная матрица оказалась блочно-треугольной.

А этот базис всегда существует? Если да, то, получается, у каждого оператора есть собственный вектор (= первый базисный вектор нового базиса), а это не так.

Если матрица оператора $\mathscr A$ в некотором базисе треугольная, то $|\mathscr A|=a_{11}\cdots a_{nn}$ и $|\mathscr A\otimes \mathscr B|=|a_{11} B|\cdots |a_{nn} B|=a_{11}^m |B|\cdots a_{nn}^m |B|=|A|^m \,|B|^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение12.05.2011, 16:48 


02/04/11
956
Можно воспользоваться равенством $A^* \omega = (\det A) \omega$ для любой формы $\omega \in \bigwedge^n V^*$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение12.05.2011, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
До форм я ещё не дошёл. Это задачки из первого параграфа про тензоры. Ещё даже сами тензоры не ввелись, только тензорное произведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение12.05.2011, 17:22 


02/04/11
956
А тензоры - это и есть элементы тензорного произведения :) Но раз форм еще нет, то придется элементарными методами доказывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение12.05.2011, 18:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну хорошо. Давайте приводить матрицу к блочно-треугольному (точнее, к блочно-ступенчатому) виду блочным же методом Гаусса, когда на каждом шаге из каждой нижней блочной строки вычитается верхняя блочная, умноженная на соответствующее число. (Под блочной строкой понимается матрица, составленная из матриц $B$, умноженных на элементы соотв. строки матрицы $A$ и сцепленные по горизонтали.) Если это удастся сделать без перестановок блочных строк (т.е. если по ходу процесса не будет образовываться нулевых блоков на диагонали или, что эквивалентно, не будет образовываться на диагонали нулей в соответствующем образом преобразуемой просто матрице $A$), то всё хорошо: по ходу преобразований не будет меняться ни детерминант матрицы $A$, ни детерминант тензорного произведения, а в конце мы получим блочно-треугольную матрицу $\widetilde A\otimes B$, где матрица $\widetilde A$ треугольна и при этом $\det\widetilde A=\det A$, а с этим случаем всё ясно.

Проблемы возникнут, если придётся переставлять блочные строки, поскольку изменения знаков при такой перестановке для $\det(A\otimes{B})$ не согласованы, вообще говоря, с изменениями знаков для $\det A$ при аналогичных перестановках. Но тут фишка вот в чём. Рассогласование знаков возможно лишь в случае чётного $m$ (размер матрицы $B$): тогда при перестановке блочных строк знак $\det(A\otimes{B})$ в любом случае не изменится, а знак $\det A$ -- как получится. Но ведь в ответе-то $\det A$ всё равно стоит в степени $m$, т.е. в данном случае в чётной. Поэтому нам для этого случая совершенно безразлично, как будет формально выглядеть получившийся ответ -- как $(\det{A})^m(\det B)^n$ или как $(-\det A)^m(\det B)^n$. Так что всё нормально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по тензорной алгебре
Сообщение12.05.2011, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #445130 писал(а):
А тензоры - это и есть элементы тензорного произведения :)

Да. Но прежде чем говорить об элементах тензорного произведения нужно само тензорное произведение определить. Что в учебнике первым делом и делается.

ewert в сообщении #445136 писал(а):
Давайте приводить матрицу к блочно-треугольному

Извините, я не совсем понял. Давайте сначала на языке операторов: определитель матрицы оператора не зависит от базиса ($|C^{-1}AC|=|A|$), поэтому если мы найдём такой базис, где матрица оператора $\mathscr A$ треугольна, то всё хорошо, ибо тензорное произведение не зависит от базисов. То есть $|\mathscr A\otimes \mathscr B|=|A\otimes B|$, где $A,B$ -- матрицы соответствующих операторов в каких-то базисах.

Вы приводите матрицу $A$ к треугольному виду (пускай она невырожденна) путём элементарного преобразования "прибавление другой строки, умноженной на скаляр", что эквивалентно умножению на специальную матрицу с определителем 1, то есть определитель преобразуемой матрицы не меняется. В конце концов мы приходим к разложению $A=QA'$, где $A'$ -- верхняя треугольная, $|Q|=1$. И хотя $|A|=|A'|$, полученное преобразование не то же, что переход к другому базису. И тогда откуда мы знаем, то от замены $A$ на $QA'$ не должно изменится $|\mathscr A\otimes \mathscr B|$? То есть $QA'$ может быть в текущем базисе быть матрицей вообще другого оператора. С тем же успехом можно заменить $A$ на любую другую матрицу с определителем как у $A$. :? :?:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group