Задачи по тензорной алгебре

[caxap]

Xaositect в сообщении #447049 писал(а):

5. Размерности (и мощности) разные.

Ясно.

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #447049 писал(а):

Для бесконечномерного пространства нет изоморфизма $V\cong V^*$

Вы хотели сказать $V\cong V^{**}$ ?

А если мы будем вводить тензоры на бесконечномерном пространстве, то проблемы из-за этого (увеличения размерности при переходе к сопряжению) не появятся? Или там их вводят иначе?

Xaositect в сообщении #447049 писал(а):

6. Первое.

Я тоже так думал, но в Кострикине (Линейная алгебра и геометрия) было названо тензорной алгеброй второе.

Xaositect в сообщении #447049 писал(а):

7. На ней есть градуировка :) Больше структуры - может быть больше свойств.

Каких например? Ну вот вводят алгебру $A=\bigoplus_{k=0}^\infty A_k$, потом добавляют, что $A_p A_q\subseteq A_{p+q}$ и говорят, что $A$ градуирована. И что дальше? Я не помню, чтобы потом эта градуировка где-то использовалась, так зачем ей вообще голову забивать?

Xaositect в сообщении #447049 писал(а):

И да, могут появиться новые СЗ

То есть моё предыдущее рассуждение верно (с СЗ $i$ и $2i$)? То есть утверждение задачи верно только если $\chi_A,\chi_B$ раскладываются на линейные множители?

[Kallikanzarid]

Цитата:

Вопрос 7. Чем градуированная алгебра лучше остальных?

Например, на алгебре Грассмана $\bigwedge V$ любой гомоморфизм $K \to V$ можно продолжить до градуированного антидифференцирования, это является фундаментом когомологии де Рама. С другими градуированными алгебрами я пока не работал, наверняка там есть подобные плюшки.

caxap в сообщении #446941 писал(а):

Вопрос 8. Иногда в физике пишут, например, $t^{i}{}_{j}{}^{k}$, то есть подразумевается, что это элемент $V\otimes V^* \otimes V$. Но ведь всё равно это пространство изоморфно $T^2_1(V)=V\otimes V \otimes V^*$. К тому же так, по-моему, постоянно приходится следить за этим порядком (при умножениях тензоров, свёртках...). Например, тогда появляется разница между $x\otimes y$ и $y\otimes x$, где $x,y$ -- тензоры типов (1,0) и (0,1) соответственно. И что тогда будет линейным оператором: элемент $V\otimes V^*$ или $V^*\otimes V$? Короче, зачем мучатся, если есть изоморфизм?

Незачем, но чтобы не было путаницы, лучше выбрать один вариант и придерживаться его далее. Возможно $V \otimes V^* \otimes V$ применяется, чтобы подчеркнуть, что это на самом деле $(V \otimes V^*) \otimes V$, т.е. можно применить 1-форму и получить эндоморфизм. К тому же, физики часто работают в пространствах с римановой метрикой, там можно поднимать/опускать индексы с помощью естественного изоморфизма $V \cong V^*,\ x \mapsto \langle x, -\rangle$.

-- Ср май 18, 2011 14:35:16 --

Цитата:

Вы хотели сказать $V\cong V^{**}$ ?

И это тоже :) http://en.wikipedia.org/wiki/Double_dua ... ouble-dual

caxap в сообщении #447085 писал(а):

А если мы будем вводить тензоры на бесконечномерном пространстве, то проблемы из-за этого (увеличения размерности при переходе к сопряжению) не появятся? Или там их вводят иначе?

Они вводятся также, но их связь с полилинейными отображениями несколько слабее:
http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_pro ... dual_space

[Xaositect]

caxap в сообщении #447085 писал(а):

Xaositect в сообщении #447049 писал(а):

Для бесконечномерного пространства нет изоморфизма $V\cong V^*$

Вы хотели сказать $V\cong V^{**}$ ?

Нет, я имел в виду $V^*$. Но $V\cong V^{**}$ тоже нет.

Цитата:

Xaositect в сообщении #447049 писал(а):

7. На ней есть градуировка :) Больше структуры - может быть больше свойств.

Каких например? Ну вот вводят алгебру $A=\bigoplus_{k=0}^\infty A_k$, потом добавляют, что $A_p A_q\subseteq A_{p+q}$ и говорят, что $A$ градуирована. И что дальше? Я не помню, чтобы потом эта градуировка где-то использовалась, так зачем ей вообще голову забивать?

Да постоянно используете, просто тривиальные свойства: например, применение линейного функционала уменьшает степень на 1. Или что линейный оператор можно естественно продолжить до оператора на $T(A)$.

Цитата:

Xaositect в сообщении #447049 писал(а):

И да, могут появиться новые СЗ

То есть моё предыдущее рассуждение верно (с СЗ $i$ и $2i$)?

Да.

Цитата:

То есть утверждение задачи верно только если $\chi_A,\chi_B$ раскладываются на линейные множители?

Нет, утверждение верно всегда. Доказывается переходом от $A$ и $B$ к их естественным расширениям, действующим на пространствах над алгебраическим замыканием. При этом сам характеристический многочлен не меняется, он просто начинает раскладываться.

[caxap]

Xaositect в сообщении #447187 писал(а):

Нет, я имел в виду $V^*$

Но ведь этот изоморфизм есть только в евклидовых пространствах.

Xaositect в сообщении #447187 писал(а):

Нет, утверждение верно всегда.

Что-то я не понимаю В задаче сказано, что если $\chi_A$ имеет $n$ корней $\lambda_i$, а $\chi_B$ -- $m$ корней $\mu_i$. То $\chi_{A\otimes B}$ имеет $mn$ (не меньше, не больше) корней $\lambda_i\mu_j$. Мой пример разве контрпримером не является? У $\chi_{A\otimes B}$ появился новый корень, не равный никакому произведению $\lambda_i\mu_j$.

(Оффтоп)

Я думал, что в задаче опечатка: там имелось в виду либо "имеет по крайней мере $mn$ корней...", либо, что $n$ и $m$ также являются размерностями пространств, в которых $A$ и $B$ действуют. Нет?

[Xaositect]

caxap в сообщении #447222 писал(а):

Xaositect в сообщении #447187 писал(а):

Нет, я имел в виду $V^*$

Но ведь этот изоморфизм есть только в евклидовых пространствах.

Xaositect в сообщении #447187 писал(а):

Нет, утверждение верно всегда.

Что-то я не понимаю В задаче сказано, что если $\chi_A$ имеет $n$ корней $\lambda_i$, а $\chi_B$ -- $m$ корней $\mu_i$. То $\chi_{A\otimes B}$ имеет $mn$ (не меньше, не больше) корней $\lambda_i\mu_j$. Мой пример разве контрпримером не является? У $\chi_{A\otimes B}$ появился новый корень, не равный никакому произведению $\lambda_i\mu_j$.

Извиняюсь, я думал, мы про задачу с определителями.

Цитата:

Я думал, что в задаче опечатка: там имелось в виду либо "имеет по крайней мере $mn$ корней...", либо, что $n$ и $m$ также являются размерностями пространств, в которых $A$ и $B$ действуют. Нет?

Это верно, да.

-- Ср май 18, 2011 16:03:26 --

caxap в сообщении #447222 писал(а):

Но ведь этот изоморфизм есть только в евклидовых пространствах.

Размерность одинаковая, значит изоморфизм есть :) Например, возьмем базис и сопоставим каждому вектору базиса ортогональную ему форму в двойственном базисе.

[Kallikanzarid]

caxap в сообщении #447222 писал(а):

Но ведь этот изоморфизм есть только в евклидовых пространствах.

Этот изоморфизм есть в любых конечномерных пространствах, но только в пространствах со скалярным произведением он естественен.