2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 
Сообщение11.11.2006, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Речь идет не о вариации кривой, а о вариации функции вдоль кривой-это разные понятия.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 16:46 


26/09/05
530
Я понимаю.Все же принцип аргумента здесь не сработает!!!

Добавлено спустя 2 минуты 12 секунд:

Ну и чему будет равна вариация той функции с аргументом,если z_1 и z_2 лежат внутри квадрата.Явно не нулю!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Falex писал(а):
Я понимаю.Все же принцип аргумента здесь не сработает!!!

Добавлено спустя 2 минуты 12 секунд:

Ну и чему будет равна вариация той функции с аргументом,если z_1 и z_2 лежат внутри квадрата.Явно не нулю!

Не могли бы Вы подтвердить свое возражение вычислениями?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 21:33 


26/09/05
530
Куда перейдет квадрат при таком дробно-линейном отображении?:$w = \frac{{z - z_1 }}{{z - z_2 }}$
Эт может понадобиться для подсчета вариации моей функции вдоль квадрата.

P.S:еще есть специалисты по вариации,чтобы разрешить наш спор?

Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд:

спор по подсчету вариации функции вдоль квадрата,сектора,эллипса (с параметрами a,b).

Добавлено спустя 2 часа 46 минут 50 секунд:

Мож кто ссылочки кинет не разбор данных примеров где-нибудь в Интернете.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Я даже не знаю, чем Вам можно еще помочь. Сообщите, в каком контексте Вам встретилась запись про вариацию аргумента- тогда, возможно, мне станут понятнее Ваши трудности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 22:18 


26/09/05
530
Вопрос возник сам собой.Где-то было показано,что такая вариация аргумента для окружности или дуги равна $2\pi$.
Действительно,если взять две точки $z_1,z_2$(а именно при этом условии будет достигаться sup),и обозначив за эпсилон уголок $z_1--z=a--z_2$ (a - первый конец дуги),то пробегая точкой z по дуге (уголок будет увеличиваться),получим в конкретный момент времени,что уголок будет равен $\pi$.Затем уголок опять будет увеличиваться и мы дойдем до угла $2\pi - \delta$.Значит,вариация равна $2\pi - \epsilon - \delta$.Ну а sup будет равен $2\pi$.Или можно рассуждать по-другому.Возьмем дробно-линейное отображение (то,что стоит под аргументом).Данная дуга переведется в часть окружности.Теперь зафиксировав начало координат,будем двигать z по этой кривой.Получим тож самое.
А вот с квадратом незадача:не знаю как здесь поступить.
С эллипсом можно рассуждать так:возтмем 2 точки внутри эллипса.Проведем окружность через эти точки,причем она должна перечесь и
a (т.е. как бы max по оси X...забыл название этого параметра).Уголок (T_1) между $z_1 -- a -- z_2$ обозначим за эпсилон (он будет маленький).Будем проводить окружности концентрические (она проходят через 2 точки заданные) и...мы каснемся эллипса (один или 2 раза).Уголок (T_2) между $z_1 -- T -- z_2$ (T-точка касания) будет большим.Т.е. в правой части эллипса (например)получим вариацию $4(T_2-T_1)$.Одна двойка взялась оттуда,что может быть 2 точки соприкосновения (в чем я сильно сомневаюсь) и вторая двойка:потому что можно провести окружность,которая пересекает эллиск в 4-х точках и там также повятся такие уголочки.
УХ :)
Но еще есть и левая часть эллипса.А еще есть и та частьдо куда кружочки "достать" не могут!
Мне кажется,что ответ должен быть типа такого $2\pi\frac{b}{a}$.Может даже с каким-то коэффициентом.

P.S:ну лучше сначала с квадратом разобраться.К нему ж тоже можно применить дробно-линейное отображение.А дальше:тупик :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 23:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Давайте опираться на следующие два факта:
1. Рассматриваемая вариация аргумента аддитивна относительно разбиений кривой.
2. Если аргумент изменяется на участке кривой монотонно, то его вариация на этом участке равна разности ( или модулю разности?) его значений в концах участка.
Вы сами подали хорошую идею: рассмотреть для квадрата его образ как результат действия дробно-линейного отображения. Стороны квадрата перейдут в дуги окружностей, которые ограничат некоторую область. От расположения точек z_1 и z_2 зависит, будет ли точка 0 лежать внутри этой области, или вне. При движении по дуге окружности аргумент комплексного числа- движущийся точки изменит характер монотонности своего поведения конечное число раз, поэтому для квадрата совсем просто вычислить искомую Вами величину вариации. Теперь осталось только разобраться: под вариацией монотонной функции Вы понимаете изменение функции , то есть ее приращение вдоль кривой, или модуль ее приращения?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 00:11 


26/09/05
530
Цитата:
аддитивна относительно разбиений кривой.

Прокомментируйте.
Цитата:
Если аргумент изменяется на участке кривой монотонно

Да.Это справедливо для окружности или дуги,но не для эллипса например.Кстати,для квадрата,отрезка,сектора,угла ведь тоже монотонности не будет!
Цитата:
модуль ее приращения?

да.Модуль.
Цитата:
Стороны квадрата перейдут в дуги окружностей, которые ограничат некоторую область.

Перейдут в дуги.Это понятно.А объединение дуг будет представлять собой окружность?или не обязательно?Так.Допустим,что точка $z_1$ внутри квадрата,а другая снаружи.Что тогда?И если они лежат наоборот.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 10:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Если вариация аргумента рассматривается как верхняя грань суммы модулей, то принцип аргумента, конечно, не работает, и я не приложу ума, в каких исследованиях рассматриваемая Вами величина может быть нужна - у нее не видно геометрического смысла. А считать ее можно так: разбейте кривую на конечное число участков, на каждом из которых аргумент ведет себя монотонно, вычислите модуль разности значений аргумента на концах каждого участка и сложите полученные числа - получите ответ. Это и означает аддитивность относительно разбиений кривой.
Цитата:
А объединение дуг будет представлять собой окружность?или не обязательно?
Не обязательно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 11:09 


26/09/05
530
Цитата:
Не обязательно.

А какая-же замкнутая фигура может получиться?МОжет нарисуете.
Цитата:
разбейте кривую на конечное число участков, на каждом из которых аргумент ведет себя монотонно, вычислите модуль разности значений аргумента на концах каждого участка и сложите полученные числа - получите ответ.

Это Вы сейчас про квадрат говорите после отображения?Приведите пример,когда точки лежат по-разные точки.Что тогда получится.Мне просто интересно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 11:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Объяснения я Вам дал, а уж экпериментировать извольте сами, по-моему, это теперь не составляет труда.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 12:01 


26/09/05
530
Так.Точка $z_2$ (как и в принципе $z_1$) не лежит на сторонах квадрата.Поэтому,отрезки перейдут в дуги.
Цитата:
Стороны квадрата перейдут в дуги окружностей, которые ограничат некоторую область.
Как это можно изобразить?!
Цитата:
От расположения точек z_1 и z_2 зависит, будет ли точка 0 лежать внутри этой области, или вне.
А это как учесть?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Falex писал(а):
Так.Точка $z_2$ (как и в принципе $z_1$) не лежит на сторонах квадрата.Поэтому,отрезки перейдут в дуги.
Цитата:
Стороны квадрата перейдут в дуги окружностей, которые ограничат некоторую область.
Как это можно изобразить?!
Цитата:
От расположения точек z_1 и z_2 зависит, будет ли точка 0 лежать внутри этой области, или вне.
А это как учесть?

1.Изобразите, как подобие квадрата, стороны которого превратились в дуги разной длины - получится некий криволинейный четырехугольник.
2. Области, на которые замкнутая кривая (например, квадрат) разделяет комплексную плоскость, переходят в области, разделяемые образом кривой. Значит, достаточно определить образ хотя бы одной точки из каждой области в прообразе. Остается учесть, что Ваше отображение переводит z_1 в нуль, и z_2 в бесконечность.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 13:15 


26/09/05
530
Для квадрата этих областей будет две.
Вообщем я взял конкрентный пример.Квадрат с вершинами: A={9,2},B={9,5},C={6,5},D={6,2}.И точки z_1={8,3}, z_2={4,4}.
Для каждой вершины квадрата подсчитал отображение
$w = \frac{{z - z_1 }}{{z - z_2 }}$:
A: $w = \frac{7}{{21}} - \frac{3}{{21}}i$
B: $w = \frac{7}{{26}} + \frac{9}{{26}}i$
C: $w = \frac{-2}{{5}} + \frac{6}{{5}}i$
D: $w = \frac{-1}{{4}} - \frac{3}{{4}}i$
Вот картинка (осталось соединить точки дугами):
http://slil.ru/23392079

Как дальше рассуждать?

Добавлено спустя 9 минут 48 секунд:

Слушайка.Она ведь у нас аддитивная.Т.е. берем каждую дугу.Для нее вариация 2пи.Значит для квдрата будет 4*2пи.
Так?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 13:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Попробуйте использовать для численных экспериментов какой-либо математический пакет - он Вам сам нарисует картинки. А для дуги вариация далеко не всегда равна 2пи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group