2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Непрерывность: если A замкнуто, то f(A) тоже замкнуто
Сообщение24.10.2006, 18:38 


07/10/06
140
Здравствуйте.Подскажите как решить задачу:
Пусть $f(x)$-непрерывна на $[a,b]$.Доказать,что если $A \subset [a,b]$-замкнуто,то
замкнуто и множество $f(A) = \left\{ {y = f(x),x \in A} \right\}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 19:25 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Непрерывная на компакте функция принимает на нём максимальное и минимальное значение(теорема Вейерштрасса). По теореме о промежуточном значении функция принимает и все значения между минимумом и максимумом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 19:38 


07/10/06
140
Юстас ну и что из этого.А где использовано,что А замкнуто,да и откуда следует,что f(A)-компакт.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 19:51 


18/10/06
11
Минск, БГУ
Пусть $ y_n \in F(A) $ - сходящаяся последовательность. Покажем,что $ y=\lim\limits_{n \to \infty}y_n \in F(A) $. В самом деле, для любого $y_n$ существует $x_n \in A$, такой что $y_n = f(x_n)$. Отсюда в силу непрерывности функции $f$, следует $ y = \lim\limits_{n \to \infty}y_n = \lim\limits_{n \to \infty}f(x_n) = f(\lim\limits_{n \to \infty}x_n) = f(x) $, где $ x = \lim\limits_{n \to \infty}x_n \in A $ в силу замкнутости множества $A$. Отсюда следует $y \in f(A)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 20:05 
Заслуженный участник


31/12/05
1406
Юстас писал(а):
Непрерывная на компакте функция принимает на нём максимальное и минимальное значение(теорема Вейерштрасса). По теореме о промежуточном значении функция принимает и все значения между минимумом и максимумом.
$A$ не обязано быть связным. Но можно так:

$A$ компактно как замкнутое подмножество компактного множества $[a, b]$. Значит, $f(A)$ тоже компактно, а, следовательно, замкнуто.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 20:09 


18/10/06
11
Минск, БГУ
Забыл написать выше, что $A$ - компакт, т.к. оно замкнуто и ограничено.
Вообще говоря нельзя сразу сказать, что существует предел последовательности $x_n$. Но можно сказать, что у последовательности $x_n$ существует
сходящаяся подпоследовательность $x_n__k$. А потом уже $ y =  \lim\limits_{k \to \infty} f( x_n__k ) $.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 20:17 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Ulya, Вы же просили подсказать, вот я и подсказал. Дальше можно и самостоятельно доделать..

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 20:52 


07/10/06
140
Пусть $y_n  \in F(A)$-сходящаяся последовательность.А если в F(A) взять последовательность,которая не сходится!
y=f(x) - а разве отсюда следует,что $y \in F(A)$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Ulya писал(а):
Пусть $y_n  \in F(A)$-сходящаяся последовательность.А если в F(A) взять последовательность,которая не сходится!
y=f(x) - а разве отсюда следует,что $y \in F(A)$

Вместо таких странных вопросов Вам лучше самой сформулировать, что, по Вашему, означает замкнутость множества f(A), и написать об этом здесь, тогда будет легче Вам помочь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 22:02 


07/10/06
140
А..все уловила мысль.y-это передельная точка для мн-ва F(A).А по определению F(A) ограничено,когда оно содержит все свои предельные точки!
А можно еще такой вопрос:будет ли непрерывным отображение: $f:l_\infty   \to l_1 $,где $f(x) = \left( {x_1 ,\frac{{x_2 }}{2},\frac{{x_3 }}{3}, \ldots } \right)$
Я рассуждала так.Проверим определение для непрерывности $f(x)$.Пусть $X,r_1$ и $Y,r_2$-2 метрических пространства.
Функция $f:X \to Y$ непрерывна,если $\forall \varepsilon  > 0\;\exists \delta  = \delta (\varepsilon ) > 0:\forall x, y :r_1 (x ,y ) < \delta  \Rightarrow r_2 (f(x ),f(y )) < \varepsilon $.
Получаем,что $r_1 (x,y) = \mathop {\sup }\limits_i \left| {x_i  - y_i } \right|$
$$
r_2 (f(x),f(y)) = \sum\limits_{i = 1}^\infty  {\left| {\frac{{x_i }}{i} - \frac{{y_i }}{i}} \right|}  = \sum\limits_{i = 1}^\infty  {\left| {\frac{1}{i}} \right|}  \cdot \left| {x_i  - y_i } \right| < \sum\limits_{i = 1}^\infty  {\left| {\frac{1}{i}} \right|}  \cdot \sum\limits_{i = 1}^\infty  {\left| {x_i  - y_i } \right|}  < \mathop {\sup }\limits_i \left| {x_i  - y_i } \right| \cdot \sum\limits_{i = 1}^\infty  {\left| {\frac{1}{i}} \right|}  < \delta \sum\limits_{i = 1}^\infty  {\left| {\frac{1}{i}} \right|}  < \infty 
$$
Значит,отображение не непрерывно.Так?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Ulya писал(а):
...А по определению F(A) ограничено,когда оно содержит все свои предельные точки!..

Это - неверно.
Цитата:
Пусть $X,r_1$ и $Y,r_2$-2 метрических пространства.
Функция $f:X \to Y$ непрерывна,если $\forall \varepsilon > 0\;\exists \delta = \delta (\varepsilon ) > 0:\forall x, y :r_1 (x ,y ) < \delta \Rightarrow r_2 (f(x ),f(y )) < \varepsilon $.

Это - определение равномерной непрерывности, а не непрерывности.
Цитата:
$$r_2 (f(x),f(y)) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{{x_i }}{i} - \frac{{y_i }}{i}} \right|} = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{1}{i}} \right|} \cdot \left| {x_i - y_i } \right| < \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{1}{i}} \right|} \cdot \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {x_i - y_i } \right|} < \mathop {\sup }\limits_i \left| {x_i - y_i } \right| \cdot \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{1}{i}} \right|} < \delta \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{1}{i}} \right|} < \infty $$

Это тоже неверно, поскольку \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {\frac{1}{i}} \right|} = \infty $$ - гармонический ряд расходится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 22:43 


07/10/06
140
Цитата:
...А по определению F(A) ограничено,когда оно содержит все свои предельные точки!..

Sorry!По определению F(A) замкнуто,когда оно содержит все свои предельные точки!..
Цитата:
Это - определение равномерной непрерывности, а не непрерывности.

А нам в Институте такое определение давали :(.Как же правильно?
Цитата:
Это тоже неверно, поскольку ...

Извините.Я перепутала.Надо было написать $ = \infty $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.10.2006, 00:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Ulya писал(а):
А можно еще такой вопрос:будет ли непрерывным отображение: $f:l_\infty   \to l_1 $,где $f(x) = \left( {x_1 ,\frac{{x_2 }}{2},\frac{{x_3 }}{3}, \ldots } \right)$

Оно не будет непрерывным ни в какой точке, поскольку в любой окрестности любой точки най дутся точки, где f не определено. Подумайте, почему. Подсказка: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1n=\infty$. Т.е. я хочу сказать, что на самом деле образ $f(l_{\infty})$ не содержится в $l_1$, отбражение задано некорректно.
Преподаватели очень любят подсовывать такие примеры студентам(и правильно делают!)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.10.2006, 03:59 


21/06/06
1721
А не подойдет ли тут такое утверждение:
Образом компакта при непрерывном отображении является компакт. (См., например Зорич, том 2)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.10.2006, 06:54 


07/10/06
140
RIP а как я доказывала:так нельзя чтоли?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 64 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group