Олимпиадная задача для экономистов

[age]

Навеяно походами на тренировку. Значит, условие до безобразия простое:

Месячный абонемент в некий спортивный клуб на два дня в неделю стоит 1900 руб., а на три дня - 2100 рублей. Максимум в клуб может ходить 150 человек (150 абонементов). Определить сколько человек ходит в клуб

Задачу придумал сам, убеждён точное решение существует. Кроме того, решившему в качестве приза будет сообщён точный ответ (из клуба).

[age]

Решение:
Есть два варианта:
1) Количество 2-дневных абонементов не может превосходить количество 3-дневных. Действительно, если посетители ходят в клуб 2 раза в неделю, либо понедельник-среда, либо среда-пятница, то среда получается перекрёстный день, т.е. больше 150 человек заниматься не смогут. Таким образом, половина - 75 человек занимается понедельник-среда, и половина 75 человек - среда-пятница. В этом случае ввиду равенства количества людей каждый дополнительный 3-дневный абонемент даёт 200 рублей, а максимум достигается когда занимаются 150 3-дневных абонементов. В этом случае прибыль равна $P_{max}=150\cdot2100=315000$ рублей.
2) Количество 2-дневных абонементов может превосходить количество 3-дневных. В этом случае, если также предусмотрена возможность заниматься понедельник-пятница, то заниматься по 2-дневной схеме смогут уже 225 человек (ещё 75 человек в понедельник и в пятницу). Несложно увидеть, что каждые два 3-дневных абонемента в этом случае лишают трёх двухдневных. Или $2\cdot2100=4200<3\cdot1900=5700$ рублей. Т.е. 3-дневные абонементы невыгодны, поэтому нет смысла делать на них скидку. В этом случае максимальная прибыль равна $P_{max}=225\cdot1900=427500$ рублей.

Таким образом, т.к. в клубе используются варианты со скидкой, то в клубе нет занятий по схеме понедельник-пятница, т.е. используется первый вариант.

-- Пт апр 29, 2011 03:41:49 --

Поскольку мы установили, что в клубе используется схема 1, то каждый дополнительный 3-дневный абонемент даёт дополнительные 200 рублей прибыли, поэтому 2-дневные абонементы клубу в принципе не нужны. Этим объясняется столь большая скидка.
Однако, в силу занятости, большинству клиентов достаточно занятий лишь 2 раза в неделю, т.е. обеспечивая столь высокую скидку - клуб имеет единственную возможность воздействовать на предпочтения клиентов 2-х или 3-х разовых занятий.
Для того, чтобы ответить на главный вопрос, а сколько же человек реально занимается? Рассмотрим максимально возможную скидку. Учитывая, что цена абонемента - цирфа округлённая до сотен, то цена 3-х дневного абонемента не может быть меньше $1900+100=2000$ рублей. В этом случае разница между 2-х и 3-х дневными абонементами составляет менее $\dfrac{100}{1900}\cdot100%=5.2%<6%$, т.е. клиент фактически затратив дополнительно стоимость половины одного занятия он получит 3-дневный абонемент (4 дополнительных занятия). Однако своё время он по-прежнему будет ценить выше выгод, обещанных клубом, т.е. фактически он будет иметь возможность ходить 3 раза в неделю, но ему будет нужно лишь 2, и за эту возможность он заплатит меньше стоимости 1 занятия (100 рублей), т.е. если клиент хоть раз в месяц сходит дополнительный раз, то уже получит выгоду.

Учитывая среднестатистическую занятость людей выкроить время для посещения хотя бы 1 дополнительного занятия в месяц смогут не менее 70-80% клиентов. Таким образом, можно утверждать, что в случае такой скидки не менее 70% абонементов будут 3-дневными, т.е. максимальная выручка будет не меньше чем $P_{max}\geq2000\cdot105+1900\cdot45=295500$ рублей.

Если же поставить за 3-дневный абонемент надбавку 200 рублей (или стоимость 1-го полного занятия), то клиентская логика останется та же с тем исключением, что теперь выгода от 1 лишнего занятия будет не столько финансовая, сколько оздоровительная. Плюс создаст у клиента стимул повышать количество дней, отводимых на тренировки. Такой схемой уже готовы будут воспользоваться ~40-60% клиентов, т.е. клуб получит выручку не менее $P_{max}\geq2100\cdot60+1900\cdot90=297000$ рублей.

Дальнейший рост надбавки на 3-дневный абонемент приведёт уже к необходимости клиента посещения 2-х дополнительных занятий, или систематического посещения/перехода на 3-дневную схему. Количество таких клиентов уже не превзойдёт 10-15%. Таким образом, данный и последующие варианты практической выгоды клубу не дадут.

Окончательно: какое бы количество человек ни ходило в клуб, условия создаваемые скидкой обеспечат соотношение не менее 40% 3-дневных абонементов, при условии, что никто из клиентов не записался на 3-дневный абонемент добровольно. Реально же количество (процент) таких абонементов будет расти в зависимости от количества людей, добровольно решивших заниматься по 3-дневной программе.

Ответ к задаче: любое количество людей, в соотношении 3-х дневных к 2-х дневным > 2/3. Средняя стоимость абонемента $A>1900\cdot0.6+2100\cdot0.4~2000$ рублей