2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вопрос по понятию минимальной сигма-алгебы
Сообщение21.10.2006, 17:19 


20/10/06
24
Непонятно определение минимальной \sigma-алгебры: Минимальной \sigma-алгеброй, содержащий класс С, называется такая \sigma-алгебра \sigma(С), что С$С\subset\sigma$ и \sigma(С)$\subset$F
для любой \sigma-алгебры F, содержащей класс С.
Или другое определение: минимальная \sigma(С) равна пересечению всех \sigma-алгебр, содержащих класс С.
Теперь вопрос: пусть дан конечный класс подмножеств С. Почему существует более одной \sigma-алгебры для данного класса. Например на некотором пространстве дано три элемента :$A\cup B$$\cup C$=$\Omega$ Какие \sigma-алгебры можно составить ? Я пока вижу только одну: сами множества, с их дополнениями, все пространство $\Omega$ и пустое множество. Ведь раз есть минимальная \sigma-алгебра, значит \sigma-алгебр несколько.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2006, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
$\sigma$-алгебр не обязательно несколько, а слово "минимальная" подразумевает ровно то, что в определении, не больше, ни меньше. Или Вы хотите сказать, что у одноточечных множеств не может быть минимального элемента?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2006, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Если минимальная $\sigma$-алгебра совпадает с алгеброй всех подмножеств, то, конечно, других $\sigma$-алгебр нет. А если минимальная $\sigma$-алгебра не совпадает с алгеброй всех подмножеств, то мы можем добавить к ней ещё множества и получить неминимальную $\sigma$-алгебру.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2006, 18:31 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Для любого основного множества всегда существует сигма-алгебра, состоящая из всех его подмножеств (в некотором смысле, максимальная). Если она совпадает с минимальной сигма-алгеброй, порожденной некоторым семейством, то тогда других нет. Как правильно заметил RIP, минимальность и единственность никак не соотносятся.

Добавлено спустя 35 секунд:

Вах, меня Someone опередил.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2006, 19:21 


20/10/06
24
Так правильно ли я понямаю, что слово минимальная имеется ввиду для данного пространства ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2006, 20:06 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Gecr писал(а):
Так правильно ли я понямаю, что слово минимальная имеется ввиду для данного пространства ?


Оно означает, что меньшей сигма-алгебры не существует.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2006, 20:19 


20/10/06
24
PAV писал(а):
Gecr писал(а):
Так правильно ли я понямаю, что слово минимальная имеется ввиду для данного пространства ?


Оно означает, что меньшей сигма-алгебры не существует.

не существует где, в этом пространстве или для данного класса?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2006, 21:39 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Если мы меняем пространство, то мы фактически меняем все, в том числе и систему множеств, которая порождает сигма-алгебру. Поэтому пространство предполагается зафиксированным и неизменным с самого начала.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2006, 22:01 


20/10/06
24
Я имею ввиду вот что: минимальная сигма-алгебра будет минимальной среди всех сигма-алгебр данного пространства или среди всех сигма-алгебр данного класса подмножеств?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2006, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Gecr писал(а):
Я имею ввиду вот что: минимальная сигма-алгебра будет минимальной среди всех сигма-алгебр данного пространства или среди всех сигма-алгебр данного класса подмножеств?

Среди всех сигма-алгебр данного пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшой вопрос по теории меры
Сообщение21.10.2006, 23:56 


07/12/05
240
Питер -> Ulm -> Koeln -> Ulm -> Bretten -> далее везде
Когда я начинал изучать сигма-алгебры, было очень полезно не лениться и выписывать примеры - хотя они уже в простейшем случае получаются громоздкими.

Простейший пример из теории вероятностей - пусть мы бросили монетку 2 раза, и $$
\Omega 
$$ - наше пространство событий.

Рассмотрим следующий класс множеств - все события, в которых нам известен результат первого броска (а второго - нет). Как обычно, H = head (решка) и T = Tail(орёл). Тогда сигма-алгебра, содержащая этот класс и(!) порожденная им, будет выглядеть так:
$$
\eqalign{
  & \sigma ((\{ HH\} \bigcup {\{ HT\} ),} (\{ TH\} \bigcup {\{ TT\} )} ) =   \cr 
  & (\emptyset ,\Omega ,(\{ HH\} \bigcup {\{ HT\} ),} (\{ TH\} \bigcup {\{ TT\} )} ) \cr} 
$$

Очевидно, она включает в себя не все события (т.е. не все элементы пространства $$
\Omega 
$$).

"Максимальная" же сигма-алгебра (т.е. множество всех подмножеств омеги) такова:
$$
\sigma (\{ HH\} ,\{ HT\} ,\{ TH\} ,\{ TT\} ) = 
$$

$$
(\emptyset ,\Omega ,\{ HH\} ,\{ HT\} ,\{ TH\} ,\{ TT\} ,(\{ HH\} \bigcup {\{ HT\} ),} 
$$

$$
(\{ HH\} \bigcup {\{ TH\} ),(\{ TH\} \bigcup {\{ TT\} ),} } 
$$

$$
(\{ HH\} \bigcup {\{ TT\} ),} (\{ HT\} \bigcup {\{ TH\} ),} (\{ HT\} \bigcup {\{ TT\} ),} 
$$

$$
(\{ HH\} \bigcup {\{ HT\} \bigcup {\{ TH\} } ),(\{ HH\} \bigcup {\{ HT\} \bigcup {\{ TT\} } )} } 
$$

$$
(\{ HT\} \bigcup {\{ TH\} \bigcup {\{ TT\} } ),} (\{ HH\} \bigcup {\{ TH\} \bigcup {\{ TT\} } ))} 
$$

Как видите, 2-я сигма-алгебра включает в себя класс множеств, породивший 1-ю сигма-алгебру (и ее саму - тоже).

(при этом
$$
\eqalign{
  & \Omega  = \{ HH\} \bigcup {\{ HT\} )\bigcup {} } (\{ TH\} \bigcup {\{ TT\} )}   \cr 
  &  = \{ HH\} \bigcup {} \{ HT\} \bigcup {} \{ TH\} \bigcup {} \{ TT\}  \cr} 
$$)

P.S.
В финансовой математике сигма-алгебра часто интерпретируется как имеющаяся информация. В 1-м примере информация не полна - мы знаем результат только 1-го броска. Зато во 2-м - мы знаем все. Минимальная же сигма-алгебра: $$
$$
(\emptyset ,\Omega )
$$ не содержит никакой информации (имеется в виду, конечно, "самая минимальная", а не минимальная - содержащая некий данный непустой класс множеств)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 10:31 


20/10/06
24
RIP писал(а):
Gecr писал(а):
Я имею ввиду вот что: минимальная сигма-алгебра будет минимальной среди всех сигма-алгебр данного пространства или среди всех сигма-алгебр данного класса подмножеств?

Среди всех сигма-алгебр данного пространства.

Теперь понятно. Еще один вопрос по поводу теоремы: Если \sigma-алгебра F подмножеств пространства омега содержит конечное число элементов, то существует такое единственное F-измеримое разбиение пространства омега семейством непустых множеств {E1, ... ,En} , что F = \sigma{E1, ... ,En}.
Не понял, в чем суть теоремы: что означает запись в теореме F = \sigma{E1, ... ,En}. Что подразумевается под F, \sigma-алгебра?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 10:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вы же сами пишете:
Цитата:
Если \sigma-алгебра F подмножеств пространства..
, то есть сами отвечаете на свой вопрос.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 10:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Суть теоремы в том, что $E_j$ образуют разбиение пространства, т.е. попарно не пересекаются и в сумме исчерпывают всё пространство.
Запись означает, что F - сигма-алгебра, порожденная $E_j$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 19:34 


20/10/06
24
RIP писал(а):
Суть теоремы в том, что $E_j$ образуют разбиение пространства, т.е. попарно не пересекаются и в сумме исчерпывают всё пространство.
Запись означает, что F - сигма-алгебра, порожденная $E_j$.

Понятно, еще вопрос по куску теоремы: "Если \sigma-алгебра F подмножеств пространства омега содержит..." Здесь \sigma-алгебра F подмножеств пространства имеется ввиду любая на данном пространстве или одна конкретная?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group