Рекурентное уравнение

[Ramm13]

Что делать если для линейного однор-го рекур-го уравнения (глубина рекурсии 2) нашли корни характеристического уравнения и они комплексные???

[faust.ru]

Уточните, пожалуйста что именно у вас получилось и в чем, собственно, проблема? На сколько я понял - вы нашли функцию, являющуюся решением рекуррентного уравнения или нет?

[profrotter]

Тогда они комплексно-сопряжённые. Продолжайте следоватть методу характеристического уравнения. Искомая последовательность будет содержать синус или косинус.

[Ramm13]

нет, вот уравнение:
$x_{n+1}=x_n-2x_{n-1}$
его характерестическое уравнение $r^2-r+2=0$
его корни $r_1=(1-i\sqrt{7})/2, r_2=(1+i\sqrt{7})/2$
Известно что если ети корни действительные, то решение запишется в виде $x_n=C_1{r_1}^n+C_2{r_2}^n$
а как делается с комплексными корнями??

[caxap]

Точно так же. Если не любите комплексные числа, то результат можно свести к синусам и косинусам.

[Ramm13]

там все равно останится действительная и мнимая часть

[faust.ru]

Цитата:

Известно что если ети корни действительные, то решение запишется в виде $x_n=C_1{r_1}^n+C_2{r_2}^n$
а как делается с комплексными корнями??

В случае комплексных корней (\alpha + j \beta) соответствующие им два слагаемых можно представить таким образом:

p^{t/T} (A cos \frac {t}{T} \phi + B sin \frac {t}{T} \phi)
где A, B - произвольные константы
p= \sqrt {\alpha^2 + \beta^2}
\phi = arctg \frac {\beta}{\alpha}

Цитата:

там все равно останится действительная и мнимая часть

Конкретизируйте что вы имеете в виду, и какой результат вам необходим...

[Ramm13]

а что такое T и t?

[faust.ru]

T - это шаг дискретизации, а t - это время...
Извиняюсь, за данный каламбур, просто я знаком с данной темой исходя из теории цифровых систем.
А в них принято рассматривать данные уравнения в отношении разностей:
\Delta x(t) = x(t+T) - x(t)

В вашем случае смело(а может и не смело...) подставляйте n вместо t/T:

p^{n} (A cos ~ n \phi + B sin ~ n \phi)

[profrotter]

$A,B$ - произвольные комплексные постоянные.

[ewert]

Ramm13 в сообщении #432804 писал(а):

там все равно останится действительная и мнимая часть

Просто перепишите общее решение в другом виде, раскрыв комплексные экспоненты формулой Эйлера, вынеся за скобки синусы отдельно и косинусы отдельно и переобозначив получившиеся комбинации произвольных постоянных как новые произвольные постоянные. Это по-прежнему будет, говоря формально, общим комплексным решением, но теперь комплексными в нём будут лишь произвольные постоянные. И если брать их (как частный случай) вещественными, то и получится общее вещественное решение.

Ну или с тем же эффектом: уравнение -- линейно и вещественно, поэтому как вещественная, так и мнимая часть любого решения тоже будет решением. Как следствие: базисными вещественными решениями будет совокупность всех геометрических прогрессий с вещественными знаменателями (если они есть), а также вещественных и мнимых частей всех геометрических прогрессий с комплексными знаменателями (если они есть).