2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 3 задачки...!
Сообщение18.10.2006, 08:40 
Аватара пользователя


09/03/06
40
Владивосток
1/Делится ли при каком-либо натуральном m ($2006^m$ - 1) на ($1004^m$ - 1) ?

2/В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов сторон и сумма квадратов диагоналей - число a. Найти максимальное значение площади.

3/Какое максимальное число точек, расстояние между которыми не менее 1, можно поместить в кольцо с внутренним радиусом 1 и внешним $\sqrt{2}$ ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2006, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
А где же Ваши собственные идеи?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 08:00 


21/06/06
1721
Что касается первой задачи, то легко видеть, что число 1004 в m-й степени без единицы всегда делится на 1003 (применяем формулу разложения разности m-x степеней). Ту же самую формулу применяем и к выражению 2006 в m-й степени без единицы. Откуда легко получаем разложение, которое точно не делится на 1003. Итак первое выражение никогда не делится на 1003, а второе всегда, отсюда следует, что такого m нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 08:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Во второй задаче ответ a/4. Надо использовать формулу для площади
$$S=1/2(AB\cdot BC\sin\angle B+CD\cdot DA\sin\angle D).$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 13:28 
Заслуженный участник


01/12/05
458
В третьей задаче нужно сравнить 2 способа размещения(величину занимаемого центрального угла) - точки лежат на внешней окружности, либо чередуются - одна на внешней, одна на внутренней, так что касаются окружности, проведенные с центром в них. По-видимому, оптимальным будет именно второй способ.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 15:02 


21/06/06
1721
А вот для второй задачи непонятно, как уважаемый RIP, пришел к такому ответу.

Ну вот площадь равна 1/4*(ab*sin(alpha)+bc*sin(beta)+cd+sin(gamma)+da*sin(delata))
где alpha, beta, gamma и delta углф между соответствующими сторонами.

Далее имеем (применяя теорему косинусов)
a^2+b^2+c^2+d^2+x^2+y^2=2*(a^2+b^2+c^2+d^2)-(ab*cos(alpha)+bc*cos(beta)+cd+cos(gamma)+da*cos(delata)).

Но что далььше?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Перечитал условие, и встал такой вопрос. Там суммы по отдельности равны a(тогда достаточно только, чтобы одна из них равнялась a) или в сумме(тогда ответ a/8.) Надо использовать(кроме написанной выше) формулу
$$S=1/2AC\cdot BD\sin\angle(AC,BD),$$
а также неравенства $\sin\alpha\leqslant1$ и $ab\leqslant1/2(a^2+b^2)$.
Для квадрата, очевидно, равенство достигается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group