2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство C3
Сообщение30.03.2011, 21:40 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Есть такое неравенство
$\[{\log _{\left| x \right|}}(\sqrt {9 - {x^2}}  - x - 1) \ge 1\]$
Пишу ОДЗ:
$\[\left| x \right| > 0;\left| x \right| \ne 1 \Rightarrow x \ne 1; - 1;0\]$
$\[9 - {x^2} > 0 \Rightarrow x \in [ - 3;3]\]$
$\[\sqrt {9 - {x^2}}  - x - 1 > 0\]$
$\[{x^2} + x - 4 < 0\]$
С учётом ОДЗ по корню $\[x \in [ - 3;\frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}]\]$
Таким образом имеем такое ОДЗ:
$\[[ - 3; - 1) \cup ( - 1;0) \cup (0;1) \cup (1;\frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2})\]$
Теперь решаю уравнение
$\[{\log _{\left| x \right|}}(\sqrt {9 - {x^2}}  - x - 1) \ge {\log _{\left| x \right|}}\left| x \right|\]$
$\[(\sqrt {9 - {x^2}}  - x - 1) \ge \left| x \right|\]$
Тут разделяем уравнение на 2 случая- с отрицательным и с положительным x. Начинаю с отрицательного
1)$\[\sqrt {9 - {x^2}}  + x - 1 \ge x\]$
$\[\sqrt {9 - {x^2}}  \ge 1\]$
$\[{x^2} \le 8\]$
$\[x \in [ - \sqrt 8 ;\frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}]\]$
Теперь с положительным
2)$\[\sqrt {9 - {x^2}}  - x - 1 \ge x\]$
$\[\sqrt {9 - {x^2}}  \ge 2x + 1\]$
$\[9 - {x^2} \ge 4{x^2} + 4x + 1\]$
$\[5{x^2} + 4x - 8 \le 0\]$
$\[x \in [ - 3;\frac{{ - 2 + \sqrt {44} }}{5}]\]$
Только вот проблема с конечным выбором промежутков... Не очень то понимаю как это всё разгрести. У меня получилось $\[[ - \sqrt 8 ; - 1) \cup ( - 1;0) \cup (0;\frac{{ - 2 + \sqrt {44} }}{5}]\]$
Помогите пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.03.2011, 23:15 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
$\[{\log _{\left| x \right|}}(\sqrt {9 - {x^2}} - x - 1) \ge {\log _{\left| x \right|}}\left| x \right|\]$
$\[(\sqrt {9 - {x^2}} - x - 1) \ge \left| x \right|\]$ - неправильный переход.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 02:09 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
А как правильно перейти?

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение31.03.2011, 02:46 
Заблокирован


07/02/11

867
Ms-dos4 в сообщении #429374 писал(а):
А как правильно перейти?

Вы нашли ОДЗ: $\[[-3;1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;\frac{{-1+\sqrt{17}}}{2})\]$.
Разбейте ОДЗ на две части: где $0<|x|<1$ и где $|x|>1$.
Уравнения для обеих этих частей ОДЗ будут разные; Вы решили только для той части ОДЗ, где $|x|>1$. Найдите пересечение Вашего решения с этой частью ОДЗ: $\[[-3;-1)\cup(1;\frac{-1+\sqrt{17}}{2})$.
Затем Вам надо перейти к уравнению для той части ОДЗ, где $|x|<1$: $(-1;0)\cup(0;1)$. Вы должны решить уравнение, при этом знак неравенства изменится на противоположный, по сравнению с предыдущим уравнением, а затем надо найти пересечение решения с этой частью ОДЗ.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 16:03 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Решил. Так?
$\[0 < \left| x \right| < 1\]$
$\[{\log _{\left| x \right|}}(\sqrt {9 - {x^2}}  - x - 1) \le {\log _{\left| x \right|}}\left| x \right|\]$
$\[1)x < 0\]$
$\[\sqrt {9 - {x^2}}  + x - 1 \le x\]$
$\[9 - {x^2} \le 1\]$
$\[{x^2} \ge 8\]$
$\[x \in ( - \infty ; - \sqrt 8 ] \cup [\sqrt 8 ; + \infty )\]$
С учётом ОДЗ
$\[x \in [ - 3; - \sqrt 8 ] \cup [\sqrt 8 ;\frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}]\]$
С учётом рассматриваемого интервала
$\[x \notin ОДЗ\]$
$\[2)x > 0\]$
$\[\sqrt {9 - {x^2}}  - x - 1 \le x\]$
$\[\sqrt {9 - {x^2}}  \le 2x + 1\]$
$\[9 - {x^2} \le 4{x^2} + 4x + 1\]$
$\[5{x^2} + 4x - 8 \ge 0\]$
$\[x \in ( - \infty ;\frac{{ - 2 - \sqrt {44} }}{5}] \cup [\frac{{ - 2 + \sqrt {44} }}{5}; + \infty )\]$
С учётом ОДЗ
$\[x \in [ - 3;\frac{{ - 2 - \sqrt {44} }}{5}] \cup [\frac{{ - 2 + \sqrt {44} }}{5};1) \cup (1;\frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}]\]$
И с учётом рассматриваемого интервала
$\[x \in [\frac{{ - 2 + \sqrt {44} }}{5};1)\]$
Объединяя решения 1 и 2 части получаем
$\[x \in [ - \sqrt 8 ; - 1) \cup [\frac{{ - 2 + \sqrt {44} }}{5};1)\]$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 21:57 
Заблокирован


07/02/11

867
$2)$ $|x|>1$. Взять из ОДЗ те интервалы (их два), которые удовлетворяют этому условию.
В предыдущем сообщении я эти интервалы указала.
В первом пункте те же ошибки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group