2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Компакт в матанализе
Сообщение28.03.2011, 17:19 


28/03/11
11
Объясните плз что такое компакт? (можно на пальцах)

В Кудрявцеве (учебник матана, 2-й том) дано такое определение:
Цитата:
Множество из R^n называется компактом, если из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой принадлежит этому множеству.


Ничего не пойму: на уровне выражений и логических связок вроде бы все прозрачно ясно, но все вместе...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2011, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3457
В $\mathbb R^n$ компакт -- это замкнутое ограниченное множество.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2011, 23:22 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Проще всего объяснить на примере отрезка $[0,1]$ и интервала $(0,1)$. Отрезок - это компакт, а интервал - нет. Рассмотрим, например, последовательность $1/2, 1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 7/8, 1/16, 15/16,...$. У нее две предельных точки (какие?), и они принадлежат отрезку, но не интервалу.
Находясь на компакте, можно переходить к пределу (возможно, предварительно выделив подпоследовательность), а находясь на интервале - вообще говоря, нет.
Описанный принцип чрезвычайно важен и играет огромную роль в математике.
Определение для $n$-мерного случая никаких новых идей не содержит.
В общем случае, конечно, компактные и некомпактные множества могут быть устроены гораздо сложнее.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 08:26 
Заслуженный участник


11/05/08
31047
skayfar в сообщении #428446 писал(а):
на уровне выражений и логических связок вроде бы все прозрачно ясно, но все вместе...

Понятие компактности важно для доказательства теорем существования в случае, когда не гарантирована единственность. При доказательстве обычно строится некоторая последовательность, которая, как можно надеяться, даст в пределе то, что нужно. Если она сходится. Но обычно если можно доказать сходимость, то удаётся аналогичными средствами доказать и единственность решения. А если единственности заведомо нет? Тогда и пригождаются соображения компактности: выделяем из построенной последовательности хоть что-то сходящееся, а там авось и что-то получится.

Типичный пример -- теорема Вейерштрасса о том, что непрерывная функция, заданная на компакте, ограниченна, причём её максимум и минимум достигаются. При доказательстве используется (помимо непрерывности, конечно) только компактность области определения, причём напрямую, и совершенно неважно, какой природы этот компакт -- одномерный, многомерный или вообще какой угодно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 15:59 
Аватара пользователя


22/12/10
255
В оные (студенческие) времена писал рефератик про понятие компактности. Ничего гениального, просто несколько определений и теорем в одном месте, вдруг поможет: http://iportnov.ru/files/compact.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение29.03.2011, 16:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3457
Portnov в сообщении #428735 писал(а):
В оные (студенческие) времена писал рефератик про понятие компактности. Ничего гениального, просто несколько определений и теорем в одном месте, вдруг поможет: http://iportnov.ru/files/compact.pdf

По-моему учащимся не стоит этого читать. Уже самое первое определение неправильное.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 18:59 
Аватара пользователя


22/12/10
255
Ну мейби, дело было давно... Тогда давайте правильные определения :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Компакт в матанализе
Сообщение29.03.2011, 20:35 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
По первому определению из реферата и открытый круг можно считать компактным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 21:57 
Заслуженный участник


11/05/08
31047
Да ладно вам обоим. Это -- лишь стандартная путаница между компактностью и предкомпактностью. Или, что то же -- между компактностью в себе и просто компактностью. Стандартная и для стандартной литературы.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение30.03.2011, 13:31 


21/07/10
555
ewert в сообщении #428911 писал(а):
Да ладно вам обоим. Это -- лишь стандартная путаница между компактностью и предкомпактностью. Или, что то же -- между компактностью в себе и просто компактностью. Стандартная и для стандартной литературы.


1. Какая, нафиг, предкомпактность: ТС, наверняка, интересуется конечно-мерным случаем, в котором понятие предкомпактности малосодержательно.

2. Не понимаю, почему никто до сих пор не дал стандартного определения компактности: множество компактно, если из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Именно это и работает, когда хотят перейти от локальных к глобальным свойствам, например, от непрерывности в точке к равномерной непрерывности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.03.2011, 13:53 
Аватара пользователя


22/12/10
255
alex1910
Да нет там никакого стандартного определения. Сколько учебников видел, двух совпадающих определений не нашёл :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.03.2011, 18:01 
Аватара пользователя


15/08/09
1363
МПГУ (математический факультет)
alex1910
Цитата:
в котором понятие предкомпактности малосодержательно.

А как вы определяете это понятие? ведь множество называется предкомпактным в топологическом пространстве, если замыкание этого множества компактно в рассматриваемом пространстве.
Так что же такое предкомпактное пространство? (я без ехидства, просто интересно.)

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение30.03.2011, 22:05 


21/07/10
555
maxmatem в сообщении #429213 писал(а):
alex1910
Цитата:
в котором понятие предкомпактности малосодержательно.

А как вы определяете это понятие? ведь множество называется предкомпактным в топологическом пространстве, если замыкание этого множества компактно в рассматриваемом пространстве.
Так что же такое предкомпактное пространство? (я без ехидства, просто интересно.)


Именно так и определяю, надеюсь тут ни с кем разногласий не возникнет.
Только беда в том, что для конечномерного евклидова пространства предкомпактность множества эквивалентна его ограниченности:)

И что вам было интересно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Re:
Сообщение30.03.2011, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14493
Новомосковск
alex1910 в сообщении #429330 писал(а):
maxmatem в сообщении #429213 писал(а):
alex1910
Цитата:
в котором понятие предкомпактности малосодержательно.

А как вы определяете это понятие? ведь множество называется предкомпактным в топологическом пространстве, если замыкание этого множества компактно в рассматриваемом пространстве.
Так что же такое предкомпактное пространство? (я без ехидства, просто интересно.)


Именно так и определяю, надеюсь тут ни с кем разногласий не возникнет.

Ну-ка, ну-ка! Мне, как топологу, тоже было бы очень интересно.
Вот имеется у нас некое топологическое пространство $X$. Как определить компактность, здесь уже говорилось (Вы же сами и говорили): пространство $X$ компактно, если любое его покрытие открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.
А теперь определите, пожалуйста, что такое предкомпактное пространство. Заметьте, что замыкать его негде, разве что в нём самом, и ничего, кроме всё того же $X$, не получается. Так как это определить "именно так"?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.03.2011, 23:45 
Аватара пользователя


15/08/09
1363
МПГУ (математический факультет)
alex1910


Цитата:
И что вам было интересно?


Мне было интересно, как вы так лихо, хотя ещё не понятно как определили, предкомпактное пространство, свои соображения по поводу предкомпактного множества я высказал и они подкреплены определениями почти в любом учебнике по топологии, но насчёт пространства впервые слышу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 70 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group