2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Синус трети угла
Сообщение14.10.2006, 19:59 


14/10/06
2
Помогите!
Нужна формула зависимости синуса трети угла от синуса целого угла (наподобие синуса половинного угла). В справочниках найти не удалось. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.10.2006, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Дело в том, что известная формула $\sin \alpha  = 3\sin \frac{\alpha }{3} - 4\sin ^3 \frac{\alpha }{3}$ показывает, что для получения желаемой Вами формулы требуется решить кубическое уравнение, что не так просто, как решение соответствующего квадратного уравнения для вычисления синуса половинного угла. Поэтому в справочнике и нет нужной Вам формулы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.10.2006, 06:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Есть и еще один момент, а именно, что корни уравнения выдаются в комплексной форме. Эта форма неприводима к вещественному виду, и посему пользы от нее маловато.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2006, 21:25 


18/10/06
11
Воронеж
Эта задача просто эквивалентна решению произвольного кубического уравнения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2006, 17:02 


14/10/06
2
господа, то, что надо решать кубическое ур-ие (по формуле Кардано) я знаю, но беда в том, что решить его не могу, поэтому и решил обратиться в форум за помощью.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2006, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Правильно! Оно и не выражается в общем случае через радикалы от вещественных чисел, если у уравнения 3 вещественных корня. Это --- так называемый неприводимый случай (casus irreducibilis), который и имел в виду незваный гость. Как раз в этом случае решение приходится выражать через тригонометрические (и обратные к ним) функции.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2006, 20:41 


07/10/06
5
г.Усть-Каменогорск
Можно решить кубическое уравнение относительно sin трети угла с
помощью формул Кардано.

Добавлено спустя 2 минуты 26 секунд:

Формулы решения куб. уравнений есть в справочниках.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2006, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
EsenZhar, Вы бы прочитали, что писали до Вас.
З.Ы.Сорри за оффтопик.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 14:08 


21/06/06
1721
Вообще при помощи этой формулы можно получить какие-нибудь содержательные результаты?

Например, можно ли как нибудь получить значение tan(10o)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 14:58 
Заслуженный участник


05/09/05
515
Украина, Киев
Вероятно, отсутствие формулы связано с неразрешимостью трисекции угла. Или нет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 15:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Формула есть, вот она передо мной, но сюда писать я её не хочу, очень уж много букв. Получить выражение для тангенса десяти градусов - можно, но будет оно таким громоздким, что это примерно то же самое, что и... не получать.
Это - с одной стороны, и невозможность трисекции угла - с другой, связаны через посредство того факта, что кубические уравнения не лечатся циркулем и линейкой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 15:49 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Macavity писал(а):
Вероятно, отсутствие формулы связано с неразрешимостью трисекции угла. Или нет?

Не из-за отсутствия формулы эта задача с помощью циркуля и линейки неразрешима. Несложно доказать, что с помощью циркуля и линейки можно получить только числа, выражаемые квадратичными расширениями поля Q. Для решения общего уравнения третьей степени (хотя оно и разрешимо в радикалах, т.е. Группа Галуа разрешимая группа), приходится пользоваться кубическими корнями, чего нельзя добиться циркулем и линейкой. В частности, в задаче построения правильного n угольника, разрешимость имеет место тогда и только тогда, когда максимальный нечётный делитель n представляется в виде произведения различных простых чисел Ферма. Пока известно только 5 простых числа Ферма 3,5,17,257,65537 (и есть соображения, что других нет), соответственно циркулем и линейкой можно построить только 32 правильных многоугольника с нечётным числом сторон.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
2Руст: в эти 32 Вы включили моноугольник? :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.10.2006, 16:23 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Да, спасибо, за поправку, включил одноугольник.
Кстати у меня тоже юбилей. Пойду отмечать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2006, 15:53 


06/11/05
87
почему бы не получить, например, так формулу
$\sin \alpha=3\cos^2\frac{\alpha}{3}\sin\frac{\alpha}{3}-\sin^3\frac{\alpha}{3}=\sin\frac{\alpha}{3}\left( 3\cos^2\frac{\alpha}{3}+3\sin^2\frac{\alpha}{3}-3\sin^2\frac{\alpha}{3}-\sin^2\frac{\alpha}{3}\right)=3\sin\frac{\alpha}{3}-4\sin^3\frac{\alpha}{3}$
Первое равенство же легко получить из следующих соображений
$\left(\cos\frac{\alpha}{3}+i\sin\frac{\alpha}{3}\right)^3=\cos\alpha+i\sin\alpha$
возведя в куб и приравнивая мнимые части и получим первое равенство

Добавлено спустя 2 часа 34 минуты 53 секунды:

а извиняюсь, я условие чётко не уяснил, думал просто связь установить

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group