Синус трети угла

[ГЕС]

Помогите!
Нужна формула зависимости синуса трети угла от синуса целого угла (наподобие синуса половинного угла). В справочниках найти не удалось. Спасибо!

[Brukvalub]

Дело в том, что известная формула $\sin \alpha = 3\sin \frac{\alpha }{3} - 4\sin ^3 \frac{\alpha }{3}$ показывает, что для получения желаемой Вами формулы требуется решить кубическое уравнение, что не так просто, как решение соответствующего квадратного уравнения для вычисления синуса половинного угла. Поэтому в справочнике и нет нужной Вам формулы.

[незваный гость]

Есть и еще один момент, а именно, что корни уравнения выдаются в комплексной форме. Эта форма неприводима к вещественному виду, и посему пользы от нее маловато.

[SergeiMS]

Эта задача просто эквивалентна решению произвольного кубического уравнения.

[ГЕС]

господа, то, что надо решать кубическое ур-ие (по формуле Кардано) я знаю, но беда в том, что решить его не могу, поэтому и решил обратиться в форум за помощью.

[worm2]

Правильно! Оно и не выражается в общем случае через радикалы от вещественных чисел, если у уравнения 3 вещественных корня. Это --- так называемый неприводимый случай (casus irreducibilis), который и имел в виду незваный гость. Как раз в этом случае решение приходится выражать через тригонометрические (и обратные к ним) функции.

[EsenZhar]

Можно решить кубическое уравнение относительно sin трети угла с
помощью формул Кардано.

Добавлено спустя 2 минуты 26 секунд:

Формулы решения куб. уравнений есть в справочниках.

[RIP]

EsenZhar, Вы бы прочитали, что писали до Вас.
З.Ы.Сорри за оффтопик.

[Sasha2]

Вообще при помощи этой формулы можно получить какие-нибудь содержательные результаты?

Например, можно ли как нибудь получить значение tan(10o)?

[Macavity]

Вероятно, отсутствие формулы связано с неразрешимостью трисекции угла. Или нет?

[ИСН]

Формула есть, вот она передо мной, но сюда писать я её не хочу, очень уж много букв. Получить выражение для тангенса десяти градусов - можно, но будет оно таким громоздким, что это примерно то же самое, что и... не получать.
Это - с одной стороны, и невозможность трисекции угла - с другой, связаны через посредство того факта, что кубические уравнения не лечатся циркулем и линейкой.

[Руст]

Macavity писал(а):

Вероятно, отсутствие формулы связано с неразрешимостью трисекции угла. Или нет?

Не из-за отсутствия формулы эта задача с помощью циркуля и линейки неразрешима. Несложно доказать, что с помощью циркуля и линейки можно получить только числа, выражаемые квадратичными расширениями поля Q. Для решения общего уравнения третьей степени (хотя оно и разрешимо в радикалах, т.е. Группа Галуа разрешимая группа), приходится пользоваться кубическими корнями, чего нельзя добиться циркулем и линейкой. В частности, в задаче построения правильного n угольника, разрешимость имеет место тогда и только тогда, когда максимальный нечётный делитель n представляется в виде произведения различных простых чисел Ферма. Пока известно только 5 простых числа Ферма 3,5,17,257,65537 (и есть соображения, что других нет), соответственно циркулем и линейкой можно построить только 32 правильных многоугольника с нечётным числом сторон.

[ИСН]

2Руст: в эти 32 Вы включили моноугольник?

[Руст]

Да, спасибо, за поправку, включил одноугольник.
Кстати у меня тоже юбилей. Пойду отмечать.

[Trueman]

почему бы не получить, например, так формулу
$\sin \alpha=3\cos^2\frac{\alpha}{3}\sin\frac{\alpha}{3}-\sin^3\frac{\alpha}{3}=\sin\frac{\alpha}{3}\left( 3\cos^2\frac{\alpha}{3}+3\sin^2\frac{\alpha}{3}-3\sin^2\frac{\alpha}{3}-\sin^2\frac{\alpha}{3}\right)=3\sin\frac{\alpha}{3}-4\sin^3\frac{\alpha}{3}$
Первое равенство же легко получить из следующих соображений
$\left(\cos\frac{\alpha}{3}+i\sin\frac{\alpha}{3}\right)^3=\cos\alpha+i\sin\alpha$
возведя в куб и приравнивая мнимые части и получим первое равенство

Добавлено спустя 2 часа 34 минуты 53 секунды:

а извиняюсь, я условие чётко не уяснил, думал просто связь установить