Изоморфизм функциональных пространств

[Niclax]

Изоморфно ли векторное пространство непрерывных функций пространству всех функций на отрезке $[0,1]$?
Иными словами, верно ли, что $C[0,1]\cong\mathbb{R}^{[0,1]}$?

[ewert]

Нет -- на втором пространстве нет нормы.

А Вы что хотели-то?...

[Padawan]

Niclax в сообщении #426421 писал(а):

Изоморфно ли векторное пространство непрерывных функций пространству всех функций на отрезке $[0,1]$?
Иными словами, верно ли, что $C[0,1]\cong\mathbb{R}^{[0,1]}$?

У них даже мощности разные, какой уж тут изоморфизм.

[Portnov]

Padawan
Ой. А какие это у них разные мощности?

[Padawan]

$|C[0,1]|=\mathfrak c$ (континуум), $|\mathbb R^{[0,1]}|={\mathfrak c}^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}>\mathfrak c$

[Portnov]

Гм. Чото я не в курсе. А можете дать ссылку, где можно найти биекцию между $C[0,1]$ и $\mathbb{R}$ ? Это ж получается, что все непрерывные функции можно действительными числами занумеровать?

[svv]

Может быть, с помощью ряда Фурье?

[Xaositect]

Portnov в сообщении #426558 писал(а):

Гм. Чото я не в курсе. А можете дать ссылку, где можно найти биекцию между $C[0,1]$ и $\mathbb{R}$ ? Это ж получается, что все непрерывные функции можно действительными числами занумеровать?

Непрерывную функцию достаточно задать в рациональных точках, в иррациональных она однозначно определяется по непрерывности.

[Portnov]

Xaositect
svv
У вас обоих получается, что ${\mathfrak c}^{\aleph_0} = {\mathfrak c}$. Для меня это не более очевидно. Можно ссылку?

(без иронии, я правда не знаю, так ли это).

[Xaositect]

Portnov в сообщении #426586 писал(а):

Xaositect
svv
У вас обоих получается, что ${\mathfrak c}^{\aleph_0} = {\mathfrak c}$. Для меня это не более очевидно. Можно ссылку?

(без иронии, я правда не знаю, так ли это).

${\mathfrak c}^{\aleph_0} = (2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0\times \aleph_0} = 2^{\aleph_0} = {\mathfrak c}$
Первое и последнее равенство - определение ${\mathfrak c}$, второе - каррирование, третье - счетное произведение счетных множеств.
Наглядная иллюстрация этого док-ва: счетное число действительных чисел можно записать в клеточках счетно-бесконечной по обеим координатам матрицы

[Portnov]

Интересно, спасибо.

[Niclax]

Спасибо. А в $C[0,1]$ какой можно базис выбрать? Синусы-косинусы?

[caxap]

(Portnov)

Portnov в сообщении #426586 писал(а):

Можно ссылку?

Верещагин, Шень. Начала теории множеств.

[Portnov]

caxap
Тоже спасибо. :)

[AD]

Xaositect в сообщении #426593 писал(а):

Наглядная иллюстрация этого док-ва: счетное число действительных чисел можно записать в клеточках счетно-бесконечной по обеим координатам матрицы

Мне как-то по душе пришлась вот такая иллюстрация: Упихаем счетное число последовательностей нулей и единиц в последовательность нулей и единиц. Первую последовательность ставим на нечетные позиции, вторую - на четные, но не делящиеся на четыре, третью - на делящиеся на четыре, но не делящиеся на восемь, ... Ну это совсем детское рассуждение.