Физический смысл афинного параметра в ТО.

[piksel]

Как известно, уравнения движения частицы при отсутствии других сил кроме гравитационных в ОТО содержат параметр дифференцирования. Для массивных частиц, общепринятым является выбор в качестве него длины времене-подобного пути. Для света, движущегося по изотропному пути, в литературе такой выбор отсутствует: в Мак-Витти и ЛЛ2 просто указывается, что это афинный параметр, меняющийся вдоль траектории; у Миснера, Торна, Уилера в "Гравитации" в качестве афинного параметра берется собственное время $\tau$. Здесь следует отметить, что собственным временем обладают только массивные частицы, а поскольку величина интервала траектории свето-подобной частицы равна нулю: ds^2=0, у такой частицы его нет ввиду ds^2=c^2d$\tau$, где с - скорость света.
Попробуем определить физический смысл афинного параметра. Начнем издалека: для чего нужна математика в физике? Для того, чтобы сравнивать одни физические величины с другими. При этом в качестве величины, с которой сравниваются другие, удобно выбрать ту, которая не меняется при переходе от одной системы координат к другой. В галилеевой системе такой величиной является время. Однако опыт Майкельсона по измерению скорости света, показавший ее независимость от системы отсчета, привел к созданию теории относительности, в которой величиной, одинаковой во всех системах отсчета, является интервал. Но, как это ни парадоксально, именно для описания движения света он не может быть использован, поскольку имеет в этом случае нулевую величину.
Предлагается выбрать в качестве аффинного параметра собственное время массивной частицы, находящейся в точке на удалении от источника гравитации и неподвижной относительно него, в которой ее действие предполагается отсутствующим. Покажем, при таком выборе преобразования импульсов в пространстве-времени Шварцшильда дают значения вектора энергии импульса в локальных системах отсчета, соответствующие величине гравитационного красного смещения.
В статье Л.Б. Окуня, Photons and static gravity, Mod.Phys.Lett.A15:1941,2000,
http://arxiv.org/abs/hep-ph/0010120 приведены значения ненулевых компонент вектора энергии-импульса фотона при радиальном движении в системе отсчета (О), связанной с точкой вне действия гравитации ( радиус r бесконечен):
$p_{t}=\frac{E}{c},\, p_{r}=\frac{E}{c}\frac{1}{\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)}, $
где Е - энергия фотона в момент испускания в точке О, $\alpha$ - радиус Шварцшильда. Они получены как производные действия по координате, однако само выражение для действия не приведено и очевидно, что оно зависит от афинного параметра, некоторое значение которого было использовано, но не указано какое. Если переписать их с верхними индексами, то получим
$p^{t}=\frac{E}{c}\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)^{-1},\, p^{r}=\frac{E}{c}. $
В статье http://ummaspl.narod.ru/varedshift.doc при использовании вариационного метода, не приводящего к нарушению изотропности светового пути, при предлагаемом выборе афинного параметра $\mu$получены обобщенные импульсы, согласующиеся с данными значениями. Хотя в теме http://dxdy.ru/topic38779-15.html, где обсуждался этод метод, Утундрий сетовал на то, что при его использовании невозможно перейти от одной системы отсчета к другой, покажем, что в данном случае он есть. В общем случае обобщенные импульсы записываются в виде
$p^{i}=\frac{v^{i}}{v^{1}v_{1}}, i=1...4 $,
где $v^{i}=\frac{dx^i}{d\mu}$ - вектор четырех-скорости. С физическими импульсами естественно связать обобщенные импульсы с верхними индексами, поскольку это делается для реальных координат.
Перейдем от системы отсчета О к системе отсчета O', связанной с точкой, неподвижной в О и относительно источника гравитации и расположенной на расстоянии r от него, для которой параметры будут обозначаться штрихом. Интервалы времени и расстояния при таком переходе преобразуются как
$dt'=dt\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)^{1/2}, $
$dr'=dr\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)^{-1/2}.$
Импульсы $p^i$ выражаются через физические величины время и длину, которые можно померять с помощью часов и линейки, а также афинного параметра, с которым мы связали время в точке О $\mu$=t, то есть с часами, которые мы можем наблюдать из любой точки в пределах горизонта событий. Подставим значения для интервалов времени, расстояния и афинного в параметра в общие выражения для импульсов:
$p^{1}=\frac{1}{v_{1}'\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)^{1/2}} $,
$p^{2}=\frac{v^{2}'\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)^{1/2}}{v^{1}'v_{1}'} $.
С другой стороны, для системы отсчета O' мы можем написать аналогичное выражение для обобщенных импульсов:
$p^{i}'=\frac{v^{i}'}{v^{1}'v_{1}'}, i=1...4 $,
хотя метрические коэффициенты здесь будут уже другие, при этом вектор четырех-скорости будет $v^{i}'=\frac{dx^i'}{d\mu}$. Сравнивая эти выражения для импульсов, получаем
$p^{1}=p^{1}'\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)^{-1/2} $,
$p^{2}=p^{2}'\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)^{1/2} $.
Выразив отсюда значения обобщенных импульсов $p^i'$ и подставив вместо $p^i$ компоненты вектора энергии-импульса $p^t$ и $p^r$ в системе отсчета O, получим их значения в локальной системе отсчета O':
$p^{t}'=\frac{E}{c\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)^{1/2}},\, p^{r}'=\frac{E}{c\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)^{1/2}}. $
Этот результат согласуется с экспериментальными данными для гравитационного смещения. То есть, выбор в качестве афинного параметра в уравнениях движения света собственное время массивной частицы в отсутствие гравитации допустим.

[Munin]

piksel в сообщении #423921 писал(а):

Однако опыт Майкельсона по измерению скорости света, показавший ее независимость от системы отсчета, привел к созданию теории относительности, в которой величиной, одинаковой во всех системах отсчета, является интервал. Но, как это ни парадоксально, именно для описания движения света он не может быть использован, поскольку имеет в этом случае нулевую величину.

Из того, что вдоль мировой линии (свободного) света интервал равен нулю, вовсе не следует, что для описания движения света интервал не может быть использован. Достаточно снабдить пространство Минковского ортогональными прямолинейными координатами (это делается с помощью интервала), и в них уже описать движение света дифференциальными уравнениями.

piksel в сообщении #423921 писал(а):

Предлагается выбрать в качестве аффинного параметра

А вы не в курсе, что от его выбора ничего не зависит?

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #423943 писал(а):

А вы не в курсе, что от его выбора ничего не зависит?

Я ответственно подтверждаю, что любое преобразование аффинного параметра ничего не меняет. Это называется репараметризационной инвариантностью. Часы могут быть любыми.
Ваще, я жутко извиняюсь за тупость, но я не понял вопрос темы. Можно уточнить, и не так много буков пожалуйста.

[piksel]

Munin в сообщении #423943 писал(а):

Из того, что вдоль мировой линии (свободного) света интервал равен нулю, вовсе не следует, что для описания движения света интервал не может быть использован. Достаточно снабдить пространство Минковского ортогональными прямолинейными координатами (это делается с помощью интервала), и в них уже описать движение света дифференциальными уравнениями.

Поясните более детально. Но, возможно, это только для пространства Миньковского, а в искривленном пространстве-времени это сделать не получится.

Munin в сообщении #423943 писал(а):

piksel в сообщении #423921 писал(а):

Предлагается выбрать в качестве аффинного параметра

А вы не в курсе, что от его выбора ничего не зависит?

В сущности это так, если он одинаков во всех системах отсчета, но для удобства восприятия, в особенности когда говорится о преобразованиях импульса, его удобно связать с конкретной величиной.

-- Чт мар 17, 2011 21:12:39 --

ИгорЪ в сообщении #424003 писал(а):

Munin в сообщении #423943 писал(а):

А вы не в курсе, что от его выбора ничего не зависит?

Я ответственно подтверждаю, что любое преобразование аффинного параметра ничего не меняет. Это называется репараметризационной инвариантностью. Часы могут быть любыми.
Ваще, я жутко извиняюсь за тупость, но я не понял вопрос темы. Можно уточнить, и не так много буков пожалуйста.

Дополнительной задачей темы было показать, что предложенный вариационный метод допускает преобразования, в данном случае импульсов, от одной системы координат к другой.

[Munin]

piksel в сообщении #424009 писал(а):

Поясните более детально.

При помощи интервала можно провести прямую линию: как времениподобную, так и пространственноподобную. При помощи интервала можно выбрать такие четыре линии, которые все ортогональны друг другу (одна времениподобная и три пространственноподобных). Назначив их осями координат, можно их разметить, и для любой точки найти её проекции на эти оси - всё при помощи интервала.

piksel в сообщении #424009 писал(а):

Но, возможно, это только для пространства Миньковского, а в искривленном пространстве-времени это сделать не получится.

В искривлённом будет, соответственно, вместо псевдоевклидовой геометрии, псевдориманова. Ряд моментов изменится, например, вместо прямых линий будут геодезические, но в конечном счёте точно так же возможно построение системы координат, охватывающей часть такого пространства (а набор таких систем координат охватывает всё пространство), и описание движения света в этой системе координат.

piksel в сообщении #424009 писал(а):

В сущности это так, если он одинаков во всех системах отсчета

Параметр не привязан к системам отсчёта. Он просто нумерует пространственно-временные точки мировой линии.

[type2b]

Для безмассовых частиц удобным выделенным параметром является тот, при дифференцировании по которому получается импульс:

$$p^\mu=\frac{{\rm d}x^\mu}{{\rm d}\tau}\,,$$

но никакого глубокого смысла у параметра конечно нет.

[Munin]

А чем он удобен? И сохраняется ли он при изменении системы единиц измерения?

[piksel]

Munin в сообщении #424023 писал(а):

В искривлённом будет, соответственно, вместо псевдоевклидовой геометрии, псевдориманова. Ряд моментов изменится, например, вместо прямых линий будут геодезические, но в конечном счёте точно так же возможно построение системы координат, охватывающей часть такого пространства (а набор таких систем координат охватывает всё пространство), и описание движения света в этой системе координат.

Если следовать определению геодезической как кривой, касательный вектор к которой переносится вдоль нее самой, то решение соответствующих уравнений движения для света не для всех метрик совпадает с решениями уравнений, полученных с помощью вариационного метода, не приводящего к нарушению изотропности пути. Примером такого несовпадения служит метрика Гёделя. Здесь критерием правильности является совпадение решения для изотропной кривой с субсветовым пределом решения для массивной частицы по всем направлениям. Иначе будет нарушаться принцип причинности.

Munin в сообщении #424023 писал(а):

Параметр не привязан к системам отсчёта. Он просто нумерует пространственно-временные точки мировой линии.

Намек на дискретность пространства?

Выбор параметра существенен, когда мы от вектора четырех-скорости или обобщенного импульса пытаемся перейти к реальным скоростям и импульсам в некоторой системе отсчета.

[Munin]

piksel в сообщении #424197 писал(а):

Если следовать определению геодезической как кривой, касательный вектор к которой переносится вдоль нее самой

Это определение через связность. Но также существует определение геодезической через метрику. В римановой геометрии они эквивалентны.

К чему последующее сяо - неизвестно.

piksel в сообщении #424197 писал(а):

Выбор параметра существенен, когда мы от вектора четырех-скорости или обобщенного импульса пытаемся перейти к реальным скоростям и импульсам в некоторой системе отсчета.

Нет, не существенен. Точно так же, как мировая линия записывается как функция от параметра $x^{\mu}=x^{\mu}(\lambda),$ так же и собственное время записывается как функция от того же параметра: $\tau=\tau(\lambda).$ После чего $d/d\tau=(d\tau/d\lambda)^{-1}d/d\lambda,$ и вся зависимость от параметра выпадает.

[type2b]

Удобен тем, что во-первых действительно является аффинным параметром, а во-вторых массивный товарищ с четырескоростью $U_\mu$ измерит частоту $\omega=U_\mu V^\mu$, если $V^\mu$ определено с тем параметром.

[piksel]

Munin в сообщении #424328 писал(а):

piksel в сообщении #424197 писал(а):

Выбор параметра существенен, когда мы от вектора четырех-скорости или обобщенного импульса пытаемся перейти к реальным скоростям и импульсам в некоторой системе отсчета.

Нет, не существенен. Точно так же, как мировая линия записывается как функция от параметра $x^{\mu}=x^{\mu}(\lambda),$ так же и собственное время записывается как функция от того же параметра: $\tau=\tau(\lambda).$ После чего $d/d\tau=(d\tau/d\lambda)^{-1}d/d\lambda,$ и вся зависимость от параметра выпадает.

Должен с вами согласиться, кроме того, афинный параметр однозначно следует из уравнений движения и выбирать его нельзя.

[Munin]