2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равнобедренный треугольник с боковой стороной
Сообщение15.03.2011, 09:52 
Заморожен


10/11/08
303
Челябинск
Равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ вписан в окружность радиуса $R$. При какой стороне $a$ площадь треугольника максимальна?

Делаю так.
Будем вычислять площадь по формуле $S=\frac{1}{2}hb$, где $b$-основание треугольника.
$h(l)=y_0-y(l)=R-R\cos \frac{l}{R}=R(1-\cos\frac{l}{R})$.
$b(l)=2R\sin \frac{l}{R}$,
$S(l)=\frac{1}{2}R(1-\cod\frac{l}{R})2R\sin \frac{l}{R}=R^2(\sin\frac{l}{R}-\frac{1}{2}\sin\frac{2l}{R})$.
$\frac{dS}{dl}=R\cos\frac{l}{R}-R\cos\frac{2l}{R}=0$.
И у этого уравнения нет решения на интервале $(0, \pi R)$, хотя оно должно быть.
Подскажите где ошибка.
PS.
Введем систему координат, таким образом, чтобы уравнение окружности в ней имело вид $R^2=x^2+y^2$. Поместим вершину треугольника в точку $(0, R)$. Введем параметр на укружности $l$, который отсчитывается от указанной точки. Понятно, что будут существовать функции $h(l)$ и $b(l)$. Затем просто решая задачу на максимум находим значение $l$, соответствующее максимальной площади треугольника.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 10:09 


29/09/06
4520
Начнём с того, что Вы вводите кучу лишних функций и переменных, и не объясняете их.
Кто такой игрек? Откуда отсчитывается $l$? Мы же не видим, что у Вас, например, тр-к нарисован с центром в начале координат, так-то и так-то. Зачем нам повсюду эта дробь $l/R$, когда это просто уголок $\alpha$?
Ну да, видимо, Вы хотели наделать функций для дифференцирования, итп.
Но проще было бы объяснять всё привычными словами школьной геометрии, тр-к АВС и всё такое.

Я, конечно, разберусь, что есть что, и даже ошибку найду, --- задачка-то простая.
А вот ежели бы Вы попроще изъяснялись, я бы не писал этот пост, а уже всё нашёл бы. :-)

-- 15 мар 2011, 11:04 --

$\triangle ABC$, $h=CD$, $\angle DCB=\alpha$, $AC=BC=a=2R\cos\alpha$, $h=a\cos\alpha=2R\cos^2\alpha$, $AB=b=2a\sin\alpha=4R\sin\alpha\cos\alpha$, $S(\alpha)=\frac{bh}2\sim \sin\alpha\cos^3\alpha$.
Равносторонний.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 11:25 
Заморожен


10/11/08
303
Челябинск
Угу, спасибо! А всё же, где у меня ошибка?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 11:27 


29/09/06
4520
Цитата:
$\frac{dS}{dl}=R\cos\frac{l}{R}-R\cos\frac{2l}{R}=0$.
И у этого уравнения нет решения на интервале $(0, \pi R)$,

$l=\frac23\pi R$ чем не корень?

-- 15 мар 2011, 11:31 --

Но так делать нельзя. В смысле нехорошо. Полярные углы отсчитывать от оси ординат людям непривычно, заводить это l/R вместо $\varphi$ — загромождает моск.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 11:31 
Заморожен


10/11/08
303
Челябинск
Ах, да! Как проглядел сам не пойму.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group