2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Маленькие вопросы по разным темам
Сообщение10.03.2011, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
В эту теме я буду задавать разные (глупые) вопросы по математике по разным темам: всё, что не поместилось в другие темы.

1. Пусть дана некоторая бесконечная последовательность, которая равномерно распределена на отрезке $[0,1]$. Я верно понимаю, что множество точек этой последовательности плотно (между любыми двумя различными есть третья)?

(Откуда это)

Есть теорема Вейля, что дробные части $n\alpha$ при натуральном $n$ и фиксированном иррациональном $\alpha$ распределены равномерно на $[0,1]$ (Грэхем "Конкретная математика", Арнольд "Математическое понимание природы"). В "Кванте" прочитал о теореме Кронекера: множество $\{m\alpha+n\mid m,n\in\mathbb Z\}$, $\alpha\in\mathbb I$ всюду плотно в $\mathbb R$. Хочу из т. Вейля вывести т. Кронекера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие вопросы по разным темам
Сообщение10.03.2011, 15:20 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Если найдутся такие две точки, между которыми нет третьей, то плотность распределения между ними будет равна нулю. Такое распределение точно не будет равномерным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие вопросы по разным темам
Сообщение10.03.2011, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
svv, точно, спасибо.

Тогда моя попытка доказательства теоремы Кронекера такая (проверьте, пожалуйста):

Пусть $M=\{m\alpha+n\mid m, n\in\mathbb Z\}$, $\alpha\in \mathbb I$. Рассмотрим любые две различные точки $a,b\in M$. Рассмотрим интервал $(a',b')$, полученный смещением $(a,b)$ на целое число единиц (т. е. $a'=a+k$, $b'=b+k$, $k\in\mathbb Z$) таким образом, чтобы $a'$ попало в $[0,1)$. Обозначим $X:=(a,b)\cap (0,1)$. Если мы докажем, что $(\exists\, m',n'\in \mathbb Z)\ m'\alpha+n'\in X$, то отсюда будет следовать, что $(\exists\, m,n\in\mathbb Z)\ m\alpha+n\in (a,b)$ (а это нам и нужно).

По теореме Вейля, $(\exists m\in \mathbb N)\ \{m\alpha\}\in X$ (тут $\{\cdot\}$ -- дробная часть). То есть $m\alpha-\lfloor m\alpha\rfloor=:m'\alpha-n'\in X$, где $m',n'\in\mathbb Z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие вопросы по разным темам
Сообщение10.03.2011, 17:03 


23/12/07
1757
Путано как-то написано. И потом
caxap в сообщении #421457 писал(а):
то отсюда будет следовать, что $(\exists m,n \in\mathbb{Z})m\alpha + n \in (a,b)$ (а это нам и нужно).
Если вы хотите показать плотность множества $M$ в $\mathbb{R}$, то нужно доказывать, что в любом открытом интервале $(u,v), u,v \in \mathbb{R}$ содержатся точки из $M$, а не то, что "между двумя точками из $M$ имеется точка из этого же множества".

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие вопросы по разным темам
Сообщение10.03.2011, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
_hum_ в сообщении #421476 писал(а):
Если вы хотите показать плотность множества $M$ в $\mathbb{R}$, то нужно доказывать, что в любом открытом интервале $(u,v), u,v \in \mathbb{R}$ содержатся точки из $M$, а не то, что "между двумя точками из $M$ имеется точка из этого же множества".

Возьмём интервал $(u,v)$, $u,v\in\mathbb R$. Сместим его на целое число единиц ($u'=u+k$, $v'=v+k$, $k\in \mathbb Z$), чтобы $u$ оказалось в $[0,1)$, получим интервал $(u',v')$. Пусть $X:=(u',v')\cap (0,1)$. Можно показать (так же, как выше), что существуют такие $m,n$, что $m\alpha+n\in M$ лежит внутри $X$. А значит в самом интервале $(u,v)$ есть точка из $M$ (ведь $(u',v')$ смещён на целое число).

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие вопросы по разным темам
Сообщение10.03.2011, 18:14 


23/12/07
1757
Ну, теперь больше похоже на правду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие вопросы по разным темам
Сообщение10.03.2011, 20:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Спасибо за проверку.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2011, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Как некоторые, наверное, заметили, у меня бывают время от времени приступы буквоедства, когда хочется разобраться в чём-то во всей строгости. (Сегодня его спровоцировали Бурбаки, Хелемский, Кутателадзе и Колмогоров.) Поэтому три вопроса (последний более жестокий, я его спрятал в оффтоп).

Вопрос 2. Почему определение функции $f:X\to Y$ несимметрично: область отправления должна равняться области определения $\mathrm{dom}\, f$, а область прибытия $\mathrm{cod} f$ равняться образу $f(X)=\mathrm{im}\, f$ не обязана? Зачем вообще нужны несюръективные функции?! А если уж и нужны, то почему не нужны функции, у которых облатсь отправления шире области определения?

Вопрос 3. Двойственным понятием к $\mathrm{dom}\, f$ является $\mathrm{im}\, f$, а не $\mathrm{cod} f$. Об этом говорят даже определения
$$\begin{align}\mathrm{dom}\, f&=&\{x\in X\mid (\exists\, y\in Y)(\(x,y)\in f)\}\\\mathrm{im}\, f&=&\{y\in Y\mid (\exists\, x\in X)(\(x,y)\in f)\}\end{align}$$
Почему же тогда терминология говорит нам об обратном: domain и codomain.

(Ведь логичнее...)

...назвать domain = область отправления, codomain = область прибытия, ??? = область определения, image = область значений.


(Вопрос 4.)

Проверьте, пожалуйста, я всё верно понимаю?

1. Отношение $R$ между множествами $M_1,\ldots,M_n$ -- это кортеж $(r,M_1,\ldots,M_n)$, где $r=\mathrm{graph}\, R\subseteq M_1\times \ldots \times M_n$ -- график отношения. Отношения между двумя множествами называются соответствиями. Это тройка $R=(r,A,B)$ из графика $r=\mathrm{graph}\, R$, области отправления $A$ (стандартного обозначения не нашёл) и области прибытия $B=\mathrm{cod}\, R$. Область определения соответствия $\mathrm{dom}\,R=\{a\in A\mid (\exists\, b\in B)((a,b)\in r)\}$, область значений (= образ = носитель) $\mathrm{im}\,R=\{b\in B\mid (\exists\, a\in A)((a,b)\in r)\}$.

Упрощение 1. Для удобства отождествляют отношение $R$ с его графиком $r$.

3. Функция -- это соответствие $F=(f,A,B)$ такое, что $\mathrm{dom}\,f=A$ и $((a,b')\in f)\land ((a,b'')\in f)\ \Rightarrow\  b'=b''$.

Вопрос: как быть с упрощением 1? Если мы отождествим функцию с графиком, то автоматически станут бессмысленны свойства типа сюръективности.

4. Множество всех функций из $A$ в $B$ обозначается $B^A$ (декартова степень; если принять упрощение 1, то $B^A=B\times\ldots \times B$ ($A$ множителей)).

5. (Немножко влезем в теории категорий, для связей.) Множество всех морфизмов в некоторой категории между двумя объектами $A,B$ обозначается $\mathrm{Hom}(A,B)=A\to B$. Вместо $f\in (A\to B)$ пишут $f:A\to B$. В категории множеств $\mathrm{Hom}(A,B)=B^A$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2011, 12:33 


14/07/10
206
Вопрос 2. Напишу свои доводы в пользу стандартного определения.
Сперва предположим, что область определения совпадает с $X$, а множество значений есть в точности образ отображения $f$. Тогда, чтобы корректно определить функцию Вы должны при её определении уже знать $\mathrm{im}\, f$. Пример: мы исследуем вариационную задачу и на пространстве непрерывно дифференцируемых функций задан функционал $I \colon x \to \int_0^1 f( x(t), \dot{x}(t), t) \, dt$, где функция $f$ непрерывна по совокупности переменных. Крайне затруднительно для произвольной функции $f$ найти чему равно $\mathrm{im}\, f$. Второй пример: пусть функция $f$, в стандартной терминологии действует из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ (в предлагаемой Вами терминологии $f \colon \mathbb{R} \to f(\mathbb{R})$). Чтобы мы могли говорить о полном прообразе какого-нибудь множества, необходимо, чтобы оно содержалось в множестве значений функции $f$, т.е. теперь в $f(\mathbb{R})$, а не в $\mathbb{R}$.
Теперь попробуйте аккуратно дать определение, например, измеримости функции $f$ (относительно меры Лебега). Сразу возникают определённые затруднения. Их, конечно, можно обойти дополнительными оговорками, но ведь такие сложности возникнут не только в определении измеримости, а во всех определениях и всех доказательствах, где используется понятие полного прообраза. А это понятие используется очень часто.
Т.е., если мы считаем что множество значений функции должно совпадать с её образом, то сразу же возникает уйма неудобств, которые и обходит классическое определение.

Пусть теперь у функции область отправления шире, чем область определения. Но ведь, чтобы работать с этой функций Вам всё равно нужно знать её область определения, т.к. нужно знать каким $x \in X$ функция $f$ "что-то сопоставляет из $Y$". И значит, нужно отдельно дополнительно указывать область определения функции. Поэтому, наверное, чтобы отдельно это не оговаривать, было решено включить область определения функции в само определение функции.

Вопрос 4. 5. Да, Вы правы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2011, 14:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
MaximVD
2. Убедительно. Спасибо.

MaximVD в сообщении #430704 писал(а):
Вопрос 4. 5. Да, Вы правы.

Спасибо. Посмотрев на ответ с позиции пессимиста, задам вопрос: в пунктах 1--4 я бред написал?

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение03.04.2011, 18:00 


14/07/10
206
caxap в сообщении #430755 писал(а):
Спасибо. Посмотрев на ответ с позиции пессимиста, задам вопрос: в пунктах 1--4 я бред написал?


Нет, почему, не бред. :-)
3. Мне кажется, что соответствие отождествлять с его графиком довольно удобно, если рассматривать именно соответствие "в целом". Если же рассматривать конкретно функции, то всё же удобнее считать, что и область определения и множество значений входят в определение функции. Иначе, как Вы сказали, свойства вроде сюръективности станут бессмысленными.
4. В голову пришла такая аналогия. Возьмём и введём множество $B_a = \{ (b, a) \mid b \in B \}$, $a \in A$. Тогда прямое произведение $\prod_{a \in A} B_a$ можно отождествить с множеством всех отображений из $A$ в $B$.

(Оффтоп)

В происхождении терминологии я не силён, поэтому на Вопрос 3 ответить несмогу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие вопросы по разным темам
Сообщение10.04.2011, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Ещё один буквоедческий вопрос:

5. Пусть $f:\mathbb R\to\mathbb R$ -- дифференцируемая функция. Что значит запись типа $\dfrac{df}{dx}$? Ведь $f$ "не знает" ни о каком $x$. То есть какую роль играет символ $x$?

(Оффтоп)

Я тут подумал... Наверное, наиболее "правильно" ссылаться на переменную по её номеру. Скажем, частная производная функции $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ по 2-й и 3-й переменной. Когда мы пишем $\dfrac{\partial f}{\partial y\partial z}$ мы неявно ссылаемся на определение фунции $f$ в виде формулы $f(x,y,z)=...$. А что, если такого определения нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие вопросы по разным темам
Сообщение10.04.2011, 19:58 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
caxap
5. Ну да, правильнее писать $\frac{df(x)}{dx}$. Но такая запись (в дифференциалах) обычно нужна только физикам, а у них обозначения гораздо менее строгие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие вопросы по разным темам
Сообщение10.04.2011, 20:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Классный вопрос! Вот потому я как-то спрашивал о том, почему в математике так мало $\lambda$-выражений.

Joker_vD, когда мы пишем $\frac{df(x)}{dx}$, мы уже получаем не функцию, а формулу. Нам нужно не это, а вот это: $f' = \lambda x . \frac{df(x)}{dx}$, но, по той теме я убедился, что в математике устоявшихся обозначений покороче вроде бы и нет. Которые бы включали в себя $d$ как-нибудь естественно, а не как у меня тут.

-- Вс апр 10, 2011 23:11:10 --

Ладно же, с функциями одной переменной можно обойтись штрихами. А вот для многих переменных…

-- Вс апр 10, 2011 23:14:56 --

А Бурбаки касались этой темы и вводили такой несомненно нужный здесь формализм? Интересно, как бы в их обозначениях выглядело, хотя я дальше какой-то там главы не смог читать самый первый том.

 Профиль  
                  
 
 Re: Маленькие вопросы по разным темам
Сообщение10.04.2011, 20:32 


14/07/10
206
arseniiv
Заглянул в книгу Бурбаки - Функции вещественного переменного. Они сначала определяют производную в точке $x_0$ и обозначают её $f'(x_0)$, а потом пишут, что функция $x \to f'(x)$, определённая на некотором интервале, называется производной функции $f$ и обозначается $f'$, $Df$ или $\dfrac{d}{dx} f$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 86 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group