2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 00:07 


13/01/10
120
Подскажите, где можно почитать про эквивалентные на $+\infty$ функции? Например какая функция эквивалентна $ln(x), e^x,$ если $x\to+\infty$?
Просто решая пример, я никак не могу понять, почему функция $\frac {e^(^x^)-e^s^i^n^(^x^)}{(ch^2(x)-cos^2(x))^a}$ эквивалентна функции $\frac {const}{e^(^2^a^-^1^)^x}$ если $x\to+\infty$, где $a$ - параметр. Здесь используется какое-то хитрое разложение по Тейлору?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 00:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13156
с Территории
Потому что их отношение стремится к единице. Пределы считать умеете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 00:57 


13/01/10
120
Ну хорошо, а каким образом подбирается такая функция? Есть ли какой то четкий алгоритм для ее поиска?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13156
с Территории
Какая "такая"? Если нужно сравнить две функции, то ничего подбирать не надо; но Вы, видимо, говорите о каком-то другом типе задач. О каком же?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 01:26 


13/01/10
120
Ну например, мне несовсем очевидно, каким образом к функции$\frac {e^(^x^)-e^s^i^n^(^x^)}{(ch^2(x)-cos^2(x))^a}$ подобрали эквивалентную $\frac {const}{e^(^2^a^-^1^)^x}$. Я не спорю что она эквивалентная, и вижу что их отношение в пределе равно единице, но сам бы никогда не догадался взять именно ее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 06:37 
Заслуженный участник


08/04/08
8370
swact писал(а):
Ну например, мне несовсем очевидно, каким образом к функции$\frac {e^x-e^{\sin (x)}}{(ch^2(x)-cos^2(x))^a}$ подобрали эквивалентную $\frac {const}{e^{(2a-1)x}}$. Я не спорю что она эквивалентная, и вижу что их отношение в пределе равно единице, но сам бы никогда не догадался взять именно ее.

Обычно задаются элементарные функции и при поиске эквивалентной функции используются стандартные эквивалентные бесконечно малые + упрощается выражением. Например $e^{\sin x}$ ограниченна - ее выкидывают просто. Гиперкосинус упрощают по определению до экспоненты и $e^{-x}$ выкидывают.
Простое правило: если $f(x) = u(x)+v(x)$ и $\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{v(x)}{u(x)}=0$, то $f(x) \sim u(x)$.

(Оффтоп)

наведите мышкой на формулы и посмотрите, как они пишутся

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 08:42 


13/01/10
120
Sonic86
И $cos^2(x)$ тоже выкидывают в силу ограниченности, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 08:44 
Заслуженный участник


08/04/08
8370
Верно

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 09:05 


13/01/10
120
И еще, помогите пожалуйста разобраться с логарифмом функии $\frac {ln(1+x+x^2)}{x^{\frac {1}{3}}}$
чему эквивалентен числитель при $x\to +\infty$
Если используются "стандартные эквивалентные бесконечно малые", то получается, что числитель эквивалентен $x+x^2$??

 i  АКМ:
swact, кодируйте функции так: \cos^2 x, \ln x .
Будет выглядеть ещё прикольнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 09:37 
Заслуженный участник


08/04/08
8370
swact писал(а):
Если используются "стандартные эквивалентные бесконечно малые", то получается, что числитель эквивалентен $x+x^2$??

Не-а! Напишите здесь используемую эквивалентность и внимательно на нее посмотрите. Использовать здесь нужно все-таки именно ее, но не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 10:28 


13/01/10
120
Что-то ничего мне в голову не приходит... Разве что положить $t=\frac{1}{x}$ и получить в числителе $\frac {1}{t}+\frac {1}{t^2}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 10:29 
Заслуженный участник


08/04/08
8370
Положите

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 10:40 


13/01/10
120
получилось вся дробь эквивалентна $x^{2/3}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 10:53 
Заслуженный участник


08/04/08
8370
Нет конечно, напишите вычисление целиком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эквивалентные функции на бесконечности
Сообщение10.03.2011, 13:19 


13/01/10
120
Хорошо. Пусть $x=\frac {1}{t}$, где $t \to +\infty$ Тогда $f(t)=\frac {\frac {1}{t}+o(\frac {1}{t})}{\frac {1}{t^\frac{1}{3}}}=t^\frac{-2}{3}+o(t^\frac{-2}{3})=$
Теперь делаем обратную замену: $f(x)=x^\frac{2}{3}+o(x^\frac{2}{3})\sim {x^\frac {2}{3}}$

Или надо было раскладывать до большего порядка малости?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group