2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Топология (расстояние между замкнутыми множествами на плоско
Сообщение05.03.2011, 21:03 


07/05/08
247
Какие замкнутые множества на плоскости, между которыми не существует расстояния, можно привести в качестве примера?

P.S. Под расстоянием между множествами понимается инфимум расстояний по всем точкам этих множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология
Сообщение05.03.2011, 22:34 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Одно из которых пустое. Потому что инфимум непустого множества вещественных чисел всегда существует :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология
Сообщение05.03.2011, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Плоскость - нормальное топологическое пространство. И следовательно каждые два непесекающиеся непустые множества имеют непересекающиеся открытые окрестности. Соответственно расстояние между такими множествами всегда положительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология
Сообщение05.03.2011, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Положительно? Кстати, patzer2097, наверное, имел в виду "инфимум непустого множества неотрицательных вещественных чисел всегда существует"?
А насчёт положительности расстояния: две какие-нибудь гиперболы с общей асимптотой. Ну или гипербола и её асимптота — как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология
Сообщение05.03.2011, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Пожалуй, я слегка увлекся. Infimum в Вашем случае действительно ноль. Вот пару соседних фактов. Расстояние от любой точки асимптоты до гиперболы положительно (из-за замкнутости гиперболы). Существуют непересекающиеся открытые окрестности гиперболы и её асимптоты (доказательство у Александряна и Мирзахоняна на странице 207).

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология
Сообщение05.03.2011, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Так плоскость вроде бы нормальное пространство и четвёртая аксиома отделимости в нём действует. (Вы сказали). Да и представить несложно: запустим ещё пару гипербол в промежноутке, ну между ними.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология
Сообщение05.03.2011, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Ну и что? Не понимаю с чем Вы спорите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология
Сообщение05.03.2011, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Разве я спорю? Я повторил Ваши слова для выражения удивления, что после этого факт существования искомых окрестностей надо ещё как-то доказывать. По-видимому, там есть какие-то тонкости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология
Сообщение05.03.2011, 23:57 


07/05/08
247
Глупый вопрос: а почему инфимум непустого множества неотрицательных чисел всегда существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология
Сообщение06.03.2011, 00:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Потому, что оно (подмножество) ограничено снизу. Вы, наверное, беспокоитесь, что инфимум может не принадлежать подмножеству. Ну так он и не обязан. Это ж не минимум.

Добавлю, что факт существования этого самого инфинума отражает полноту множества действительных сисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология
Сообщение06.03.2011, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Во-первых, вопрос умный. Во вторых, потому, что каждое ограниченное снизу множество вещественных чисел имеет точную нижнюю границу (infimum). Почитайте где-нибудь определение вещественных чисел (лучше через сечения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология
Сообщение06.03.2011, 00:12 


07/05/08
247
gris
Скорее меня беспокоит наличие различных хитросконструированных множеств, не укладывающихся в рамки простой интуиции.

Виктор Викторов
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология
Сообщение06.03.2011, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Для непустых множеств на плоскости хитрить не приходится. Расстояние между двумя разными точками положительно. То есть расстояние между двумя любыми множествами на плоскости с любой метрикой, определённое по-Вашему, существует.
Может быть имелось в виду нечто иное? Например, построить два ограниченных замкнутых множества с нулевым расстоянием.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология
Сообщение06.03.2011, 00:30 


07/05/08
247
gris
Я имел ввиду множества на прямой. Мало ли там какой зверь обитает, который не имеет инфимума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология
Сообщение06.03.2011, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Вот именно поэтому и нужно подробно проработать определение вещественных чисел через сечения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group