2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.
 
 Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени 4
Сообщение24.02.2011, 18:35 


24/04/10
88
Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени $n = 4$


Возможны два метода доказательства, кроме метода Ферма (бесконечного спуска):

- метод аналогичный методу исследования ВТФ при степени три,
- метод исследования уравненя $x^2  + y^4  - z^4  = 0$, без метода Ферма.

Для доказательства ВТФ используем уравнение $x^m  + y^4  - z^4  = 0,\qquad\egno ( 1 ) $

Разложение уравнения

Вводом явной чётности переменных, имеем:

$$(2x_1 )^m  + (2y_1  + 1)^4  - (2z_1  + 1)^4  = 0,\qquad\egno
( 2),$$$$\left( {2x_1  + 1} \right)^m  + \left( {2y_1  + 1} \right)^4  - \left( {2z_1 } \right)^4  = 0,\qquad\egno ( 3 ),$$$$\left( {2x_1  + 1} \right)^m  + \left( {2y_1 } \right)^4  - \left( {2z_1  + 1} \right)^4  = 0,$$$$\left( {2x_1 } \right)^m  + \left( {2z_1 } \right)^4  - \left( {2z_1 } \right)^4  = 0.$$
Для доказательства ВТФ необхоимо исследовать первые два уравнения.

Исследование уравнения:$\[\left( {{\text{2x}}_{\text{1}} } \right)^m  = \left( {{\text{2z}}_{\text{1}}  + {\text{1}}} \right)^4  - \left( {{\text{2y}}_{\text{1}}  + {\text{1}}} \right)^4 \]$

Исследование возможно при использовании частных свойств уравнения.

Применение методов доказательства требуют введения понятий, определяющих некоторые свойства полиномиальных диофантова уравнений:

- уравнение неопределённое при значении $i < k,$
- уравнение определённое при значении $i = k,$
- уравнение переопределённое при значении $i > {\text{k}},$
- $i - $ значение степени $f\left( {y,z} \right),$
- $k - $число неизвестных $f\left( {y,z} \right).$

При степени $n = 4$ уравнение переопределённое, ибо значение степени $f\left( {y,z} \right)$ больше числа неизвестных $f\left( {y,z} \right)$ . Так как число неизвестных два, уравнение определено при двух линейных сомножителях. Решение переопределённого уравнения Ферма возможно, если полученные из двух линейных сомножителей значения переменных в третьем сомножителе дают отвечающее оночлену число степени m. Из сказанного следует, что при одночлене с одним неизвестным и двух неизвестных $f\left( {y,z} \right)$ показатели степени сомножителей неоднородного уравнения порознь равны m, и можем писать:
$$\[x_1^m  = {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{3}}^{\text{m}} ,{\text{(V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{,V}}_{\text{3}} ) = {\text{d}} = 1.\]$$ Приведением к неоднородному виду, при использовании частных свойств, имеем:
$$\[{\text{x}}_{\text{1}}^m  = \frac{{\left( {2{\text{z}}_{\text{1}}  + 1} \right)^4  - \left( {2{\text{y}}_{\text{1}}  + 1} \right)^4 }}{{{\text{2}}^m }} = \frac{{\left( {\frac{{2{\text{z}}_{\text{1}}  + 1}}
{2}} \right)^4  - \left( {\frac{{2y_{\text{1}}  + 1}}{2}} \right)^4 }}
{{{\text{2}}^{m - 4} }} = \]$$$$\[ = \frac{{\left( {{\text{z}}_{\text{1}}  - {\text{y}}_{\text{1}} } \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}}  + {\text{y}}_{\text{1}}  + 1} \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + {\text{z}}_{\text{1}}  + {\text{y}}_{\text{1}}  + \frac{1}{2}} \right)}}{{2^{m - 4} }} = {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{3}}^{\text{m}} ,\]$$$$1.\left\{ \begin{gathered}  \left( {z_1  - y_1 } \right) = 2^{m - 4} V_1^m  \hfill \\  \left( {z_1  + y_1  + 1} \right) = V_2^m  \hfill \\
  \left( {z_1^2  + y_1^2  + z_1  + y_1  + \frac{1}
{2}} \right) = V_3^m , \hfill \\ \end{gathered}  \right.$$$$2.\left\{ \begin{gathered}  \left( {z_1  - y_1 } \right) = V_1^m  \hfill \\  \left( {z_1  - y_1 } \right) = 2^{m - 4} V^m  \hfill \\
  \left( {z_1^2  + y_1^2  + z_1  + y_1  + \frac{1}
{2}} \right) = V_3^m , \hfill \\ \end{gathered}  \right.$$$$3.\left\{ \begin{gathered}  (z_1  - y_1 ) = V_1^m  \hfill \\  (z_1  + y_1  + 1) = V_2^m  \hfill \\  (z_1^2  + y_1^2  + z_1  + y_1  + \frac{1}{2}) = 2^{m - 4} V_3^m . \hfill \\ \end{gathered}  \right.$$
На основе 1. и 2. варианта, решений нет, на основе 3. варианта, нет при степени ${\text{m}} \geqslant {\text{4}}$ , $V_3^m  - $ дробь. Слеовательно, по первому методу доказательства уравнение не имеет требуемых решений. Случаи $1 < {\text{m}} < 4$ исследуемы отдельно.

Исследование 3-го варианта решений при степени ${\text{m}} = 2$
(второй метод доказательства)


Из первых двух уравнений 3-го варианта получаем значения переменных:$$\left\{ \begin{gathered}  (z_1  - y_1 ) = V_1^2  \hfill \\
  (z_1  + y_1  + 1) = V_2^2 , \hfill \\ \end{gathered}  \right.$$$$\[{\text{ y}}_{\text{1}}  = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}}  - {\text{1}}}}
{{\text{2}}}{\text{,  y}} = {\text{2y}}_{\text{1}}  + {\text{1}} = {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} {\text{, z}}_{\text{1}}  = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}}  - {\text{1}}}}
{{\text{2}}}{\text{,z}} = {\text{2z}}_{\text{1}}  + {\text{1}} = {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} {\text{. }}\]$$ Подставляя значения переменных в 3. уравнение 3. варианта решений, имеем:
$$\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}}  = \left[ {{\text{4}}\left( {{\text{z}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) + 4\left( {{\text{z}}_{\text{1}}  + {\text{y}}_{\text{1}} } \right) + 2} \right] = {\text{z}}^{\text{2}}  + {\text{y}}^{\text{2}}  = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2  + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2  = 2\left( {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right),\]$$$\[{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  > \left( {{\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + 1} \right),\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$ числа различной чётности, $\[
{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}}  - \]$ дробь.

Правая сторона уравнения чётная, значит $\[{\text{V}}_{\text{3}}\]$ тоже чётное число:$$\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}}  = \left( {{\text{2V}}_{\text{3}}^{\text{'}} } \right)^2  = 2\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right),{\text{ V}}_{\text{3}}^{{\text{'2}}}  = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} }}{2}.\]$$
Чётность $\[\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$ различная, и $\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{'}} \]$ не натуральное число. Это исключает разрешимость уравнения согласно требованиям при степени ${\text{m}} = 2,{\text{n}} = 4,$ следовательно, и при значении степени ${\text{m}} = {\text{n}} = 4.$

Подстановкой в уравнение, проверим равенство:
$$\left( {{\text{2V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}} } \right)^2  = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^4  - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^4  = $$$$\[ = \left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2  - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 } \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2  + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 } \right] = \]$$$$\[ = \left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2  + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 } \right] = \]$$$$\[
 = 2{\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} {\text{2V}}_{\text{2}}^{\text{2}} {\text{2}}\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right) = \left( {{\text{2V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}} } \right)^2.\]$$
Исследование 3-го варианта решений при степени ${\text{m}} = 3$
(для доказательства ВТФ не требуется)

Из первых двух уравнений 3-го варианта получаем значения переменных:
$$\left\{ \begin{gathered}  (z_1  - y_1 ) = V_1^3  \hfill \\
(z_1  + y_1  + 1) = V_2^3 , \hfill \\ \end{gathered}  \right.$$$$\[{\text{z}}_{\text{1}}  = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}}  - {\text{1}}}}
{{\text{2}}}{\text{ }}{\text{, z}} = {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} {\text{,  y}}_{\text{1}}  = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}}  - 1}}
{2}{\text{ }}{\text{, y}} = {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}}.\]$$ Поставляя значения переменных в 3. уравнение 3. варианта решений, имеем:
$$\[{\text{2V}}_{\text{3}}^{\text{3}}  = \left[ {4\left( {{\text{z}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) + 4\left( {{\text{z}}_{\text{1}}  + {\text{y}}_{\text{1}} } \right) + 1} \right] = {\text{z}}^{\text{2}}  + {\text{y}}^{\text{2}}  = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2  + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2  = 2\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{6}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{6}} } \right){\text{,}}\]$$$\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{3}}  = \left( {V_2^2 } \right)^3  + \left( {V_1^2 } \right)^3 ,{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  > {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}}  + {\text{1}}{\text{,}}\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$ различной чётности, $\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{3}}  - \]$ дробь.

Исходя из полученного уравнения, $\[{\text{V}}_{\text{3}} \]$ не натуральное число. Это исключает разрешимость уравнения согласно требованиям при степени ${\text{m}} = 3,{\text{n}} = 4.$

Подстановкой в уравнение, проверим равенство:
$$\[\left( {{\text{2V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}} } \right)^3  = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^4  - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^4  = \]$$$$\[ = \left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2  - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 } \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2  + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 } \right] = \]$$$$\[= \left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right) - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right) + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2  + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{3}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} } \right)^2 } \right] =\]$$$$\[ = 2{\text{V}}_{\text{1}}^{\text{3}} {\text{2V}}_{\text{2}}^{\text{3}} {\text{2}}\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{6}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{6}} } \right) = \left( {{\text{2V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}} } \right)^3.\]$$
Уравнение не имеет неоднородных решений при степени $m \geqslant 2,n = 4,$ но имеет множество неоднородных решений при степени ${\text{m}} = 1,{\text{n}} = 4.$ Уравнение имеет также партикулярно однородные решений при $m \geqslant 2p + 1,n = 4.$ При $\[{\text{m}} = {\text{n}}\]$ таких решений нет, ибо уравнение Ферма имело бы решение при степени $n \geqslant 4.$

Получение партикулярно однородных решений уравнения можно, исходя из неоднородных уравнений, имеющих решение, следующим образом:

$\[{\text{x}}^{{\text{q }}}  = z^{\text{n}}  - y^{\text{n}} ,{\text{x}}^{\text{q}} {\text{d}} = z^{\text{n}} d - y^{\text{n}} d,x^q  = z^{\text{n}}  - {\text{y}}^{\text{n}}  - \]$ уравнение, имеющее решение, ${\text{d}} = \text{d}}_{\text{1}}^{{\text{kqn}}}  = {\text{x}}^{{\text{kqn}}} .$

После подстановки получаем:$$\[{\text{x}}^{\text{q}} {\text{x}}^{{\text{kq}}} ^{\text{n}}  = {\text{z}}^n {\text{x}}^{{\text{kqn}}}  - {\text{y}}^n {\text{x}}^{{\text{kqn}}} {\text{,  }}x^{{\text{q ( kn}} + {\text{1)}}}  = x^m  = \left( {{\text{zx}}^{{\text{kq }}} } \right)^{\text{n}}  - \left( {{\text{yx}}^{{\text{kq }}} } \right)^{\text{n}} ,k = 1,2,3, \cdot  \cdot  \cdot ,m = {\text{q ( kn}} + {\text{1)}}{\text{.}}\]$$
Для доказательства ВТФ необходимо доказать, что второе уравнение также не имеет требуемых решений.

Исследование уравнения $\left( {2x_1  + 1} \right)^4  + \left( {2y_1  + 1} \right)^4  - \left( {2z_1 } \right)^4  = 0$

Запишем уравнение при степени ${\text{n}} = 2:$$\[\left( {2z_1 } \right)^2  = \left( {{\text{2x}}_{\text{1}}  + {\text{1}}} \right)^{\text{2}}  + \left( {{\text{2y}}_{\text{1}}  + {\text{1}}} \right)^{\text{2}}.\]$

Приведением уравнения к неоднородному виду, имеем:
$$\[z_1^2  = \frac{{\left( {{\text{2x}}_{\text{1}}  + {\text{1}}} \right)^{\text{2}}  + \left( {{\text{2y}}_{\text{1}}  + {\text{1}}} \right)^{\text{2}} }}{4} = x_1^2  + x_1  + y_1^2  + y_1  + \frac{1}
{2}.\]$$
Дробное значение $z_1 $ исключает разрешимость уравнения при значениях ${\text{n}} = 2^{\text{k}} $.

Из результатов исследования двух уравнений следует, что ВТФ при степени $n = 4$ не имеет требуемых решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени 4
Сообщение24.02.2011, 18:56 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Опять та же ошибка. Системы уравнений 1, 2 и 3 не покрывают все возможные разложения предшествующего уравнения на множители.

Даже хуже, выбранные вами варианты разложения вообще неверны - в третьем уравнении в каждом варианте слева нецелое число, а справа - целое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени 4
Сообщение25.02.2011, 16:55 


24/04/10
88
venco в сообщении #416768 писал(а):
Опять та же ошибка. Системы уравнений 1, 2 и 3 не покрывают все возможные разложения предшествующего уравнения на множители.

Даже хуже, выбранные вами варианты разложения вообще неверны - в третьем уравнении в каждом варианте слева нецелое число, а справа - целое.



Ввиду отсутствия контрпримера, правомерность использования приведённого метода аргументирую общими фактами:

- уравнение при двух переменных $y_1 ,z_1 ,$ определено двумя линейными сомножителями, генерирующими все возможные натуральные значения переменных $y_1 ,z_1 ,$
- приведенное к одночлену с одной переменной переопределённое неоднородное уравнение, может иметь натуральное решение исключительно при условии, что полученные из двух линейных сомножителей значения $y_1 ,z_1 $ в остаточном сводном сомножителе генерируют число степени m. Ибо при одночлене с одним неизвестным и $f\left( {y_1 ,z_1 } \right)$ с двумя неизвестными для переопределённого неоднородного уравнения с тремья сомножителями, имеем:
$$\[x_1^m  = {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{3}}^{\text{m}} ,{\text{(V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{,V}}_{\text{3}} ) = {\text{d}} = 1.\]$$ Ведь сложное число степени m разлагается на два взаимно простых сомножителя только при условии, что они порознь числа степени m. А значение третьего сомножителя должно быть числом степени m исходя из уравнения $\[x_1^m  = {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{3}}^{\text{m}} .
\]$ И совершенно иной вопрос, что равенство возможно при натуральном или ненатуральном значении $\[{\text{V}}_{\text{3}} .\]$ Ответ на этот вопрос должен следовать как раз из доказательства! При натуральном значении $\[{\text{V}}_{\text{3}}\]$ уравнение имеет требуемое решение, при ненатуральном значении $\[{\text{V}}_{\text{3}} \]$ – не имеет,
- в обшем слечае, уравнение при трёх и большем числе переменных$y_1 ,z_1 , \cdot  \cdot  \cdot $определено тремя, или соответственно большим числом линейных сомножителей, генерирующими все возможные натуральные значения переменных $y_1 ,z_1 , \cdot  \cdot  \cdot ,$
- приведенное к одночлену с одной переменной переопределённое неоднородное уравнение, может иметь натуральное решение исключительно при условии, что полученные из k линейных сомножителей значения $y_1 ,z_1 , \cdot  \cdot  \cdot $ в остаточном сводном сомножителе генерируют число степени m. Ибо при одночлене с одним неизвестным и $f\left( {y_1 ,z_1 , \cdot  \cdot  \cdot } \right)$ с k неизвестными для переопределённого неоднородного уравнения с $k + 1$ сомножителями, имеем:
$$\[x_1^m  = {\text{V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}}  \cdot  \cdot  \cdot {\text{V}}_{\text{k}} {\text{V}}_{{\text{k}} + {\text{1}}} ,{\text{(V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} , \cdot  \cdot  \cdot ,{\text{V}}_{\text{k}} {\text{,V}}_{{\text{k}} + {\text{1}}} ) = {\text{d}} = 1.\]$$ Ведь сложное число степени m разлагается на $k + 1$ взаимно простые сомножители при необъязательной попарной взаимной простоте сомножителей. А значение последнего сомножителя должно удовлетворять уравнению $\[x_1^m  = {\text{V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}}  \cdot  \cdot  \cdot {\text{V}}_{\text{k}} {\text{V}}_{{\text{k + 1}}} .\]$

Приведенный первый случай разложения неоднородного уравнения на множители покрывают все возможные разложения предшествующего уравнения!! Два случая разложения неоднородного уравнения на множители вместе покрывают все возможные разложения полиномиальных уравнений!!

- Ваши утверждения – о возможности иных разложений – могут устоять исключительно для однородных уравнений.

Тот факт, что в третьем уравнении в каждом варианте слева нецелое число, а справа – целое, свидетельствует не об ошибке, а об отсутствии требуемого натурального решения!! Это обстоятельство подтверждается проверкой методом подстановки полученых значений переменных $y_1 ,z_1 $ в уравнения. Также решением – этим методом – множества иных переопределённых уравнений, имеющих и не имеющих натуральные решения.

Если Вы так считаете, приведите, пожалуйста, контрпример возможного отличного разложения разности дробных двучленов степени четыре в неоднородном уравнении, чтобы на конкретный вопрос последовал конкретный ответ!

С увыжением: Sándor

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени 4
Сообщение25.02.2011, 17:24 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Sandor, я говорю про разложение на множители равенства
$$\[\frac{{\left( {{\text{z}}_{\text{1}} - {\text{y}}_{\text{1}} } \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}} + {\text{y}}_{\text{1}} + 1} \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}}^{\text{2}} + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}} + {\text{z}}_{\text{1}} + {\text{y}}_{\text{1}} + \frac{1}{2}} \right)}}{{2^{m - 4} }} = {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{3}}^{\text{m}} ,\]$$
Почему вы не рассмотрели вариант:
$$\left\{ \begin{gathered} \frac{z_1 - y_1 }2 = 2^{m - 4} V_1^m \hfill \\ {z_1 + y_1 + 1} = V_2^m \hfill \\ {2 z_1^2 + 2 y_1^2 + 2 z_1 + 2 y_1 + 1} = V_3^m , \hfill \\ \end{gathered} \right.$$
а также много других вариантов?

-- Пт фев 25, 2011 09:36:49 --

Кстати, Sandor, Вы $m$ вместо $4$ используете чтобы легче было запутаться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени 4
Сообщение25.02.2011, 22:27 


24/04/10
88
venco в сообщении #417201 писал(а):
Sandor, я говорю про разложение на множители равенства
$$\[\frac{{\left( {{\text{z}}_{\text{1}} - {\text{y}}_{\text{1}} } \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}} + {\text{y}}_{\text{1}} + 1} \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}}^{\text{2}} + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}} + {\text{z}}_{\text{1}} + {\text{y}}_{\text{1}} + \frac{1}{2}} \right)}}{{2^{m - 4} }} = {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{m}} {\text{V}}_{\text{3}}^{\text{m}} ,\]$$
Почему вы не рассмотрели вариант:
$$\left\{ \begin{gathered} \frac{z_1 - y_1 }2 = 2^{m - 4} V_1^m \hfill \\ {z_1 + y_1 + 1} = V_2^m \hfill \\ {2 z_1^2 + 2 y_1^2 + 2 z_1 + 2 y_1 + 1} = V_3^m , \hfill \\ \end{gathered} \right.$$
а также много других вариантов?

-- Пт фев 25, 2011 09:36:49 --

Кстати, Sandor, Вы $m$ вместо $4$ используете чтобы легче было запутаться?


Разложение выражения $\[\left( {a^4  - b^4 } \right)\]$ на множители, как и дробного выражения $\left[ {\left( {\frac{{2z_1  + 1}}{2}} \right)^4  - \left( {\frac{{2y_1  + 1}}{2}} \right)^4 } \right],$ однозначно определено правилами разложения на множители, исходя из биномиальной теоремы Ньютона, других разложений не существует! В уравнении для ФТФ, при степени $\[m = n = 4,\]$ имеем: $$\[x_1^m  = \frac{{\left( {{\text{z}}_{\text{1}}  - {\text{y}}_{\text{1}} } \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}}  + {\text{y}}_{\text{1}}  + 1} \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + {\text{z}}_{\text{1}}  + {\text{y}}_{\text{1}}  + \frac{1}
{2}} \right)}}{{2^{m - 4} }} = \]$$$$\[ = \frac{{\left( {{\text{z}}_{\text{1}}  - {\text{y}}_{\text{1}} } \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}}  + {\text{y}}_{\text{1}}  + 1} \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + {\text{z}}_{\text{1}}  + {\text{y}}_{\text{1}}  + \frac{1}
{2}} \right)}}{{2^{4 - 4} }} = \]$$$$\[ = \frac{{\left( {{\text{z}}_{\text{1}}  - {\text{y}}_{\text{1}} } \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}}  + {\text{y}}_{\text{1}}  + 1} \right)\left( {{\text{z}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + {\text{z}}_{\text{1}}  + {\text{y}}_{\text{1}}  + \frac{1}
{2}} \right)}}{1} =  \cdot  \cdot  \cdot.\]$$
Возможностей перегруппировки множителей без нарушения правил разложения на множители – без нарушения правил биномиальной теоремы – нет. Иначе дело обстоит при степени $ \[m \ne n = 4,\]$ ибо знаменатель дроби не входит в разложение и он может быть исключительно множителем $\[V_1^3 ,V_2^3 ,V_3^3 .\]$ Поэтому при знаменателе $ \[2^{m - n}  \ne 1\]$ значения $\[
V_1^3 ,V_2^3 ,V_3^3 \]$ можно соответственно умножить на значение $\[2^{m - n} .\]$ Это Вы правитьно показали в первом уравнении предложенного варианта. Там же показали неправомерный перенос двойки в знаменатель, нарушая правила розложения на множители, условия биномиальной теоремы. Знаменатель$\[2^{m - n} \]$ при степени $\[{\text{1}} < {\text{m}} < 4\]$ приводит к натуральному значению третьего сомножителя, не равному квадрату, или кубу натурального числа.

Что касается применения обозначения m: обеспечивает показ особенностей метода.

С уважением: Sándor

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени 4
Сообщение25.02.2011, 22:33 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Sandor в сообщении #417365 писал(а):
Разложение выражения $\[\left( {a^4  - b^4 } \right)\]$ на множители, как и дробного выражения $\left[ {\left( {\frac{{2z_1  + 1}}{2}} \right)^4  - \left( {\frac{{2y_1  + 1}}{2}} \right)^4 } \right],$ однозначно определено правилами разложения на множители
Ложь. Однозначно определено разложение на простые множители. Вы же простоту выписанных множителей не доказали.

Sandor в сообщении #417365 писал(а):
Иначе дело обстоит при степени $ \[m \ne n = 4,\]$
Вы, вроде бы, взялись доказать ВТФ для 4-ой степени. Так при чём тут $m \ne 4$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени 4
Сообщение27.02.2011, 21:49 


24/04/10
88
venco в сообщении #417371 писал(а):
Sandor в сообщении #417365 писал(а):
Разложение выражения $\[\left( {a^4  - b^4 } \right)\]$ на множители, как и дробного выражения $\left[ {\left( {\frac{{2z_1  + 1}}{2}} \right)^4  - \left( {\frac{{2y_1  + 1}}{2}} \right)^4 } \right],$ однозначно определено правилами разложения на множители
Ложь. Однозначно определено разложение на простые множители. Вы же простоту выписанных множителей не доказали.

Sandor в сообщении #417365 писал(а):
Иначе дело обстоит при степени $ \[m \ne n = 4,\]$
Вы, вроде бы, взялись доказать ВТФ для 4-ой степени. Так при чём тут $m \ne 4$?


Я доказываю ВТФ при степени 4 по двум методам. По второму методу – через уравнение $x^2  = z^4  - y^4 ,m = 2 \ne 4!$

Ваш пример по разложению на множители уравнения не удовлетворяет требованиям переопределённых уравнений!

Привожу доказательство утверждуния.


Запишем исходное уравнение и приведём к неоднородному виду:
$$x^2  = z^4  - y^4  = \left( {z - y} \right)\left( {z + y} \right)\left( {z^2  + y^2 } \right),$$$$\left( {2x_1 } \right)^2  = 4\left( {z_1  - y_1 } \right)\left( {z_1  + y_1  + 1} \right)\left[ {2\left( {{\text{2z}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + 2{\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + 2{\text{z}}_{\text{1}}  + 2{\text{y}}_{\text{1}}  + 1} \right)} \right],$$$$x_1^2  = \left( {z_1  - y_1 } \right)\left( {z_1  + y_1  + 1} \right)\left[ {2\left( {{\text{2z}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + 2{\text{z}}_{\text{1}}  + 2{\text{y}}_{\text{1}}  + 1} \right)} \right] = V_1^2 V_2^2 V_3^2 ,$$$$x_1^2  = \left( {z_1  - y_1 } \right)\left( {z_1  + y_1  + 1} \right)\left( {z^2  + y^2 } \right) = V_1^2 V_2^2 V_3^2 .$$

При степени $n = 4$ уравнение переопределённое, ибо значение степени $f\left( {y,z} \right)$ больше числа неизвестных $f\left( {y,z} \right)$. Так как число неизвестных $f\left( {y,z} \right)$ два, уравнение определено при двух линейных сомножителях. Решение переопределённого уравнения возможно, если полученные из двух линейных сомножителей значения переменных в третьем сомножителе дают отвечающее оночлену число степени m. Из сказанного следует, что при одночлене с одним неизвестным и двух неизвестных $f\left( {y,z} \right)$ показатели степени сомножителей неоднородного уравнения порознь равны m, и можем писать: $$\[x_1^2  = {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}} ,{\text{(V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{,V}}_{\text{3}} ) = {\text{d}} = 1,\]$$ $$\left\{ \begin{gathered}  z_1  - y_1  = V_1^2  \hfill \\  z_1  + y_1  = V_2^2  - 1 \hfill \\  z^2  + y^2  = V_3^2  \hfill \\ \end{gathered}  \right.,z_1  = \frac{{V_2^2  + V_1^2  - 1}}
{2},z = V_2^2  + V_1^2 ,y_1  = \frac{{V_2^2  - V_1^2  - 1}}
{2},y = V_2^2  - V_1^2 ,$$ $\[
{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  > \left( {{\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + 1} \right),\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$ числа различной чётности, $\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}}  - \] $ дробь.

Из доказательства следует, что вопросное число 2 является коэффициентом третьего сомножителя – переопределённой части уравнения – и не является элементом определяющей части уравнения, почему и не входит в формулы для определения значений неизвестных $y_1 ,z_1 ,y,z.$

Подставляя значения переменных в 3. уравнение, имеем:$$\[
{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}}  = {\text{z}}^{\text{2}}  + {\text{y}}^{\text{2}}  = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2  + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2  = 2\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right).\]$$
Правая сторона уравнения чётная, значит $\[
{\text{V}}_{\text{3}} \]$ тоже чётное число:
$$\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}}  = \left( {{\text{2V}}_{\text{3}}^{\text{'}} } \right)^2  = 2\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right),{\text{ V}}_{\text{3}}^{{\text{'2}}}  = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} }}{2}.\]$$ Чётность $\[\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$ различная, и $\[{\text{V}}_{\text{3}}^{{\text{'2}}}\]$ дробное число. Это исключает разрешимость уравнения согласно требованиям при значении степени ${\text{m}} = 2,{\text{n}} = 4,$ следовательно, и при значении степени ${\text{m}} = {\text{n}} = 4.$

Подстановкой в уравнение значений переменных, проверим равенство:$$\[\left( {{\text{2V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}} } \right)^2  = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^4  - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^4  = \]$$$$\[ = \left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2  + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 } \right] = \]$$$$\[
 = 2{\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} {\text{2V}}_{\text{2}}^{\text{2}} {\text{2}}\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right) = \left( {{\text{2V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}} } \right)^2 .\]$$
Подобное доказательство возможно для уравнения:
$$x^4  = z^4  - y^4  = \left( {z - y} \right)\left( {z + y} \right)\left( {z^2  + y^2 } \right)$$ Введением явной чётности переменных, имеем:
$$\left( {2x_1 } \right)^4  = 4\left( {z_1  - y_1 } \right)\left( {z_1  + y_1  + 1} \right)\left[ {2\left( {{\text{2z}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + 2{\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + 2{\text{z}}_{\text{1}}  + 2{\text{y}}_{\text{1}}  + 1} \right)} \right],$$$$4x_1^4  = \left( {z_1  - y_1 } \right)\left( {z_1  + y_1  + 1} \right)\left( {z^2  + y^2 } \right) = 4V_1^4 V_2^4 V_3^4 ,$$$$\[
x_1^4  = {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}} {\text{V}}_{\text{3}}^{\text{4}} ,{\text{(V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{,V}}_{\text{3}} ) = {\text{d}} = 1,x = 2x_1  = 2{\text{V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}} ,\]$$$$\left\{ \begin{gathered}  z_1  - y_1  = V_1^4  \hfill \\
  z_1  + y_1  = V_2^4  - 1 \hfill \\  z^2  + y^2  = V_3^4  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.,z_1  = \frac{{V_2^4  + V_1^4  - 1}}
{2},z = V_2^4  + V_1^4 ,y_1  = \frac{{V_2^4  - V_1^4  - 1}}
{2},y = V_2^4  - V_1^4 ,$$
$\[{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  > \left( {{\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}}  + 1} \right),\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$ числа различной чётности, $\[
{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{4}}  - \]$ дробь.

Из доказательства следует, что вопросное число 4 является постоянным множителем переопределённого однородного уравнения и не является элементом определяющей части уравнения. Приведением к неоднородному виду, имеем:$$x_1^4  = \left( {z_1  - y_1 } \right)\left( {z_1  + y_1  + 1} \right)\left( {z^2  + y^2 } \right) = V_1^4 V_2^4 V_3^4 .$$
Поставляя значения переменных в 3. уравнение, имеем:
$$\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{4}}  = {\text{z}}^{\text{2}}  + {\text{y}}^{\text{2}}  = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right)^2  + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right)^2  = 2\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{8}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{8}} } \right).\]$$
Правая сторона уравнения чётная, значит $\[{\text{V}}_{\text{3}} \]$ тоже чётное число:
$$\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{4}}  = \left( {{\text{2V}}_{\text{3}}^{\text{'}} } \right)^4  = 2\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{8}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{8}} } \right),{\text{ V}}_{\text{3}}^{{\text{'4}}}  = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{8}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{8}} }}{{2^3 }}.\]$$ Чётность $\[\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} -\]$ различная, и $\[{\text{V}}_{\text{3}}^{{\text{'4}}} \]$ дробное число. Это исключает разрешимость уравнения согласно требованиям при значении степени ${\text{n}} = 4.$

Подстановкой в уравнение значений переменных, проверим равенство:
$$x_1^4  = \left( {\frac{{V_2^4  + V_1^4  - 1}}
{2} - \frac{{V_2^4  - V_1^4  - 1}}
{2}} \right)\left( {\frac{{V_2^4  + V_1^4  - 1}}
{2} + \frac{{V_2^4  - V_1^4  - 1}}
{2} + 1} \right)\left[ {\left( {V_2^4  + V_1^4 } \right)^2  + \left( {V_2^4  - V_1^4 } \right)^2 } \right] = $$$$ = \frac{{2V_1^4 }}
{2} \cdot \frac{{2V_2^4 }}{2}\left( {2V_2^8  + 2V_1^8 } \right) = V_1^4 V_2^4 V_3^4 ,x = 2x_1  = 2V_1 V_2 V_3 .$$

С уважением: Sándor

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени 4
Сообщение28.02.2011, 01:04 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Sandor, извините, мне опять надоело толочь воду в ступе. В Вашем сообщении пурга почти с самого начала. Возможно, Вам легче будет понять свои ошибки, если Вы будете выкладывать свои соображения постепенно. Давайте начнём с этого:
Sandor в сообщении #418092 писал(а):
При степени $n = 4$ уравнение переопределённое, ибо значение степени $f\left( {y,z} \right)$ больше числа неизвестных $f\left( {y,z} \right)$.
Что такое "переопределённое уравнение"?
Sandor в сообщении #418092 писал(а):
Так как число неизвестных $f\left( {y,z} \right)$ два, уравнение определено при двух линейных сомножителях.
Неизвестных в предшествующем уравнении 6: $x_1$, $y_1$, $z_1$, $V_1$, $V_2$, $V_3$.
Sandor в сообщении #418092 писал(а):
Решение переопределённого уравнения возможно, если полученные из двух линейных сомножителей значения переменных в третьем сомножителе дают отвечающее оночлену число степени m.
Вообще не понял, что Вы имеете в виду, и почему это должно быть верно.

Не надо писать "доказательство" дальше. Из ложных посылок следует что угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени 4
Сообщение28.02.2011, 01:05 


24/04/10
88
Доказательство улавнения
venco в сообщении #417371 писал(а):
Sandor в сообщении #417365 писал(а):
Разложение выражения $\[\left( {a^4  - b^4 } \right)\]$ на множители, как и дробного выражения $\left[ {\left( {\frac{{2z_1  + 1}}{2}} \right)^4  - \left( {\frac{{2y_1  + 1}}{2}} \right)^4 } \right],$ однозначно определено правилами разложения на множители
Ложь. Однозначно определено разложение на простые множители. Вы же простоту выписанных множителей не доказали.

Sandor в сообщении #417365 писал(а):
Иначе дело обстоит при степени $ \[m \ne n = 4,\]$
Вы, вроде бы, взялись доказать ВТФ для 4-ой степени. Так при чём тут $m \ne 4$?



Я доказываю ВТФ при степени 4 по двум методам. По второму методу – через уравнение $x^2  = z^4  - y^4 ,m = 2 \ne 4!$

Ваш пример по разложению на множители уравнения не удовлетворяет требованиям переопределённых уравнений!

Привожу доказательство утверждуния.


Запишем исходное уравнение и приведём к неоднородному виду:
$$x^2  = z^4  - y^4  = \left( {z - y} \right)\left( {z + y} \right)\left( {z^2  + y^2 } \right),$$$$\left( {2x_1 } \right)^2  = 4\left( {z_1  - y_1 } \right)\left( {z_1  + y_1  + 1} \right)\left[ {2\left( {{\text{2z}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + 2{\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + 2{\text{z}}_{\text{1}}  + 2{\text{y}}_{\text{1}}  + 1} \right)} \right],$$$$x_1^2  = \left( {z_1  - y_1 } \right)\left( {z_1  + y_1  + 1} \right)\left[ {2\left( {{\text{2z}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + {\text{y}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + 2{\text{z}}_{\text{1}}  + 2{\text{y}}_{\text{1}}  + 1} \right)} \right] = V_1^2 V_2^2 V_3^2 ,$$$$x_1^2  = \left( {z_1  - y_1 } \right)\left( {z_1  + y_1  + 1} \right)\left( {z^2  + y^2 } \right) = V_1^2 V_2^2 V_3^2 .$$

При степени $n = 4$ уравнение переопределённое, ибо значение степени $f\left( {y,z} \right)$ больше числа неизвестных $f\left( {y,z} \right)$. Так как число неизвестных $f\left( {y,z} \right)$ два, уравнение определено при двух линейных сомножителях. Решение переопределённого уравнения возможно, если полученные из двух линейных сомножителей значения переменных в третьем сомножителе дают отвечающее оночлену число степени m. Из сказанного следует, что при одночлене с одним неизвестным и двух неизвестных $f\left( {y,z} \right)$ показатели степени сомножителей неоднородного уравнения порознь равны m, и можем писать: $$\[x_1^2  = {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} {\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}} ,{\text{(V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{,V}}_{\text{3}} ) = {\text{d}} = 1,\]$$ $$\left\{ \begin{gathered}  z_1  - y_1  = V_1^2  \hfill \\  z_1  + y_1  = V_2^2  - 1 \hfill \\  z^2  + y^2  = V_3^2  \hfill \\ \end{gathered}  \right.,z_1  = \frac{{V_2^2  + V_1^2  - 1}}
{2},z = V_2^2  + V_1^2 ,y_1  = \frac{{V_2^2  - V_1^2  - 1}}
{2},y = V_2^2  - V_1^2 ,$$ $\[
{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  > \left( {{\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}}  + 1} \right),\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$ числа различной чётности, $\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}}  - \] $ дробь.

Из доказательства следует, что вопросное число 2 является коэффициентом третьего сомножителя – переопределённой части уравнения – и не является элементом определяющей части уравнения, почему и не входит в формулы для определения значений неизвестных $y_1 ,z_1 ,y,z.$

Подставляя значения переменных в 3. уравнение, имеем:$$\[
{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}}  = {\text{z}}^{\text{2}}  + {\text{y}}^{\text{2}}  = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2  + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2  = 2\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right).\]$$
Правая сторона уравнения чётная, значит $\[
{\text{V}}_{\text{3}} \]$ тоже чётное число:
$$\[{\text{V}}_{\text{3}}^{\text{2}}  = \left( {{\text{2V}}_{\text{3}}^{\text{'}} } \right)^2  = 2\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right),{\text{ V}}_{\text{3}}^{{\text{'2}}}  = \frac{{{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} }}{2}.\]$$ Чётность $\[\left( {{\text{V}}_{\text{1}} {\text{,V}}_{\text{2}} {\text{ }}} \right) = {\text{d}} = {\text{1}} - \]$ различная, и $\[{\text{V}}_{\text{3}}^{{\text{'2}}}\]$ дробное число. Это исключает разрешимость уравнения согласно требованиям при значении степени ${\text{m}} = 2,{\text{n}} = 4,$ следовательно, и при значении степени ${\text{m}} = {\text{n}} = 4.$

Подстановкой в уравнение значений переменных, проверим равенство:$$\[\left( {{\text{2V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}} } \right)^2  = \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^4  - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^4  = \]$$$$\[ = \left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) - \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right) + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)} \right]\left[ {\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2  + \left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{2}}  - {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} } \right)^2 } \right] = \]$$$$\[
 = 2{\text{V}}_{\text{1}}^{\text{2}} {\text{2V}}_{\text{2}}^{\text{2}} {\text{2}}\left( {{\text{V}}_{\text{2}}^{\text{4}}  + {\text{V}}_{\text{1}}^{\text{4}} } \right) = \left( {{\text{2V}}_{\text{1}} {\text{V}}_{\text{2}} {\text{V}}_{\text{3}} } \right)^2 .\]$$

Прошу предыдущее сообщение удалить. Спасибо!

С уважением: Sándor

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени 4
Сообщение28.02.2011, 01:28 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 !  Sandor, Вам был задан конкретный вопрос:
venco в сообщении #418151 писал(а):
Что такое "переопределённое уравнение"?
Простой и краткий. Вместо ответа мы получаем опять длинную простыню:
Sandor в сообщении #418152 писал(а):
Доказательство улавнения
..............
Привожу доказательство утверждуния.

..............
Извольте ясно и конкретно отвечать на вопросы участника, согласившегося на полемику с Вами.
Не публикуйте новых простыней.

Замечу, что улавнения, в отличие от утверждуний, не являются объектом доказательства. По крайней мере в данном контексте.

Также замечу, что в самом первом сообщении Вы ввели какую-то функцию $f(y,z)$ (и потом постоянно на неё ссылаетесь), не потрудившись объяснить, что это за функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени 4
Сообщение28.02.2011, 01:33 
Заслуженный участник


04/05/09
4582

(Оффтоп)

Какой-то глюк с сообщениями произошёл. Возможно Sandor-у ещё есть, что ответить на вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени 4
Сообщение03.03.2011, 13:47 


24/04/10
88
AKM
Sandor, Вам был задан конкретный вопрос:
venco в сообщении #418151 писал(а):
Что такое "переопределённое уравнение"?
Вы ввели какую-то функцию $\[f\left( {y,z} \right)\]$ (и потом постоянно на неё ссылаетесь), не потрудившись объяснить, что это за функция.

По определению: «Диофантовы уравнения – алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, число неизвестных которых, превосходит число уравнений, у которых разыскиваются целые решения».

Из определения следует, что полиномиальные диофантовы уравнения неопределенны! Но полиномиальное диофантова уравнение определено основной теоремой арифметики. Оно является источником решаемой системы других уравнений. Эта система может быть неопределённой, определённой и переопределённой в зависимости от соотношения числа неизвестных и числа линейных множителей $\[f\left( {y,z,...} \right)\]$, собственно её степени (где $\[f\left( {y,z,...} \right)\]$разложенный на множители двучлен или многочлен правой стороны уравнения, приведенного к одночлену).

Что касается опечаток. Я пишу на русском языке с помощью клавиатуры с латынским шрифтом, без двойного обозначения букв. Попробуйте обратное, интересно. К тому же система контроля правописания не работает безотказно. Вы правы, всё это не значит, что можно допускать ошибки.

Приношу извинения!

Пример неопределённого, определённого и переопределённого уравнения:

$\[x^2  = \left( {z - y - w} \right)\left( {z + y + w} \right) = U_1^2 U_2^2  - \]$ неопределённое уравнение,
$$\[\left\{ \begin{gathered}  z - y - w = U_{\text{1}}^2  \hfill \\  z + y + w = U_{\text{2}}^2 {\text{, }} \hfill \\ \end{gathered}  \right.z = \frac{{U_{\text{2}}^2  + U_{\text{1}}^2 }}{2},y = \frac{{U_{\text{2}}^2  - U_{\text{1}}^2  - 2w}}{2},(U_1 ,U_2 ) = d = 1 - \]$$
нечётные, $\[w - \]$ подбирается произвольно,

$\[x^3  = \left( {z - y - w} \right)\left( {z + y + w} \right)\left( {z - y + w} \right) = U_1 U_2 U_3  - \]$ определённое уравнение,
$$\[\left\{ \begin{gathered}  z - y - w = U_1  \hfill \\
  z + y + w = U_{\text{2}}  \hfill \\  z - y + w = U_{\text{3}} {\text{, }} \hfill \\ \end{gathered}  \right.z = \frac{{U_2  + U_1 }}
{2},y = \frac{{U_2  - U_3 }}{2},w = \frac{{U_3  - U_1 }}
{2},(U_1 ,U_2 ,U_3 ) = d = 1-\]$$
подбирается из условия $\[x^3  = U_1 U_2 U_3 ,\]$

$ \[x^2  = \left( {z - y} \right)\left( {z + y} \right)\left( {z - y - 1} \right) = U_1 U_2 U_3  - \]$ переопределённое уравнение,
$$\[\left\{ \begin{gathered}  z - y = U_1  \hfill \\  z + y = U_2  \hfill \\
  z - y - 1 = U_3 {\text{, }} \hfill \\ \end{gathered}  \right.z = \frac{{U_2  + U_1 }}{2},y = \frac{{U_2  - U_1 }}{2},x^2  = U_1 U_2 U_3 .\]$$
Переопределённое уравнение имеет решение, если полученные из двух (трёх, ……, в зависимости от числа неизвестных) линейных множителей значения переменных в остаточном сводном сомножителе дают отвечающее оночлену число:
$$\[U_3  = z - y - 1 = \frac{{U_2  + U_1 }}{2} - \frac{{U_2  - U_1 }}{2} - 1 = U_1  - 1,U_3  = U_1  - 1.\]$$Исхоное уравнение имеет решение, ибо уравнение $\[U_3  = U_1  - 1\]$ разрешимо в целых числах, при условии $ \[x^2  = U_1 U_2 U_3 .\]$
Выбирая произвольно значение $\[U_1 ,\]$ например $\[U_1  = 4,\]$ вычисляя значение $\[U_3 \]$ и подбирая значение $\[U_2 ,\]$ имеем:
$$\[x^2  = U_1 U_2 U_3  = 4 \cdot U_2  \cdot 3 = 4 \cdot 12 \cdot 3 = 12^2 ,x = 12,y = 4,z = 3.\]$$ venco
Какой-то глюк с сообщениями произошёл. Возможно Sandor-у ещё есть, что ответить на вопросы.

Я обнаружил ошибку в своём сообщении, а «правка» уже была отключена. Поэтому послал новое сообщение с просьбой удалить первое сообщение. При этом Вашего сообщения я ещё не читал. Вероятно, сообшения были встречными!

Приношу извинения!

С уважением: Sándor

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени 4
Сообщение03.03.2011, 14:17 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Конечно, я бы не стал акцентировать мелкие опечатки: я обратил внимание на необычное словосочетание "доказательство уравнения". Ну, а там попались две забавные опечатки...
Sandor в сообщении #419238 писал(а):
Поэтому послал новое сообщение с просьбой удалить первое сообщение.
Кажется, я тогда разбирался, что надо удалять, можно ли это удалять, и что-то удалил. Но подобную просьбу следовало бы сопровождать ссылкой на конкретное сообщение, как эта ссылка, например.

Правильное оформление цитат --- требование правил форума. Делается это легко. Ваше предыдущее сообщение начинается с неправильно оформленной цитаты. Посмотрите, например, эту тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение предметного доказательства ВТФ при степени 4
Сообщение03.03.2011, 20:39 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Понятие переопределённости обычно соотносят с системой уравнений, а не с одним уравнением. В Википедии есть пример бессмысленного уравнения, 10+4=15. Пожалуй, это годится и как пример "переопределённого уравнения". Вы же в своём первом определении ссылаетесь на какую-то только Вам понятную степень:
Sandor в сообщении #418092 писал(а):
При степени $n = 4$ уравнение переопределённое, ибо значение степени $f\left( {y,z} \right)$ больше числа неизвестных $f\left( {y,z} \right)$.
На закономерный вопрос, что Вы имеете в виду, мы получаем совсем невразумительный ответ:
Sandor в сообщении #419238 писал(а):
Эта система может быть неопределённой, определённой и переопределённой в зависимости от соотношения числа неизвестных и числа линейных множителей $f(y,z,\ldots)$, собственно её степени (где $f(y,z,\ldots)$ разложенный на множители двучлен или многочлен правой стороны уравнения, приведенного к одночлену).
Sandor в сообщении #419238 писал(а):
Переопределённое уравнение имеет решение, если полученные из двух (трёх, ……, в зависимости от числа неизвестных) линейных множителей значения переменных в остаточном сводном сомножителе дают отвечающее оночлену число: .......
Это набор поставленных рядом слов из математики; на мой взгляд, абсолютно бессмысленный набор.

Вы так и не объяснили, что такое $f(y,z)$. Вместо непонятного многословия достаточно было выписать явный вид функции. Фраза "$i$ - значение степени $f(y,z)$" понятна только телепатам.
Ваше наружное изложение Ваших же внутренних мыслей настолько далеко от привычного математического языка, что даже трудно Вам подсказать и поправить.

 !  Тема закрывается.
Автору запрещается публиковать на форуме новые опусы в том же стиле.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group