Плотности

[Gortaur]

Есть отрезок $[0,1]$. Нужно подобрать липшицевы плотности $\phi(x,y)$ такие что для всех $x\in[0.5,1]$ выполнено

$$ \supp \phi(x,y) = [0.5,1]. $$

Есть идея взять простейшие - например треугольники

$$ \phi(x,y) = 16\left(\frac{1}{4} - \left|y - \frac{3}{4}\right|\right) $$

если $x\in [0.5,1]$ и

$$ \phi(x,y) = \frac{4}{(1-x)^2}\left(\frac{1-x}{2} - \left|y - \frac{1+x}{2}\right|\right) $$

если $x\in[0,0.5)$.

Застопорился собственно на доказательстве липшицевости. Есть какие-нибудь предложения? как доказать липшицевость или может быть есть пример семейства получше?