2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Точка в двугранном угле
Сообщение23.02.2011, 00:33 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Хочу развлечь физическое общество.
Имеется двугранный угол с заданным раствором $\alpha$. На расстоянии $L$ от линии пересечения плоскостей двугранного угла находится материальная точка. В начальный момент она имеет скорость$\vec v$, угол между которой и перпендикуляром к линии пересечения составляет угол $\phi$ (меньше $\leqslaut \pi/2$). Плоскость, образованная перпендикуляром $\vec L$и вектором $\vec v$, повёрнута относительно линии пересечения на угол $\beta$. Соударения точки о плоскости - абсолютно упругие. Требуется найти:
1. Минимальное расстояние, на которое тело приблизится к линии пересечения.
2. Общее число соударений точки о плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 05:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
dovlato в сообщении #415941 писал(а):
На расстоянии $L$ от линии пересечения плоскостей двугранного угла находится материальная точка.

Где-то на дуге, значит...
dovlato в сообщении #415941 писал(а):
В начальный момент она имеет скорость$\vec v$, угол между которой и перпендикуляром к линии пересечения составляет угол $\phi$ (меньше $\leqslaut \pi/2$).

В каком-то из двух конусов, значит...
dovlato в сообщении #415941 писал(а):
Плоскость, образованная перпендикуляром $\vec L$и вектором $\vec v$, повёрнута относительно линии пересечения на угол $\beta$.

А это уже легче: от двух конусов осталось всего четыре возможных направления скорости...

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 08:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну давайте начнём с того, что никаких двугранных углов нет -- всё фактически происходит в плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 16:10 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
ewert в сообщении #418213 писал(а):
Ну давайте начнём с того, что никаких двугранных углов нет -- всё фактически происходит в плоскости.

Неее-еет.. Можно представить себе плоскость, перегнутую пополам по какой-то линии сгиба, прямой конечно. Образуется двугранный угол. Острый. Ну и пусть например, между его полуплоскостями 10, 20, 30 или сколько захотите градусов. И вот между этими полуплоскостями обретается точка, которая в данный момент летит куда-то внутрь этого угла, но, скорее всего, не прямиком в линию сгиба, а попадает в одну из полуплоскостей. Удары точки об эти плоские поверхности - абсолютно упругие.
Дак. Задано начальное расстояние точки от линии сгиба. Задан вектор начальной скорости $\vec v_0$.
Требуется доказать, что минимальное расстояние между точкой и линией сгиба будет равно расстоянию между скрещивающимися прямыми: линией сгиба и прямой, на которой лежит $\vec v_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 17:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну это банально. Надо просто примкнуть к этому двугранному углу ещё $n$ таких же углов, где $\gamma+n\alpha\geqslant\pi$, но $\gamma+(n-1)\alpha<\pi$$\gamma$ -- это угол между гранью и проекцией начальной траектории на плоскость, перпендикулярную граням). И прошить всю эту конструкцию продолжением траектории. Тогда $n$ -- это и будет количество столкновений.

С ровно тем же успехом можно было с самого начала спроецировать всё на ту самую перпендикулярную плоскость, гордо проигнорировав равномерное движение в направлении, параллельном линии сгиба.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 17:31 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
ewert в сообщении #418362 писал(а):
И прошить всю эту конструкцию продолжением траектории.

Я же и говорил - развлечь). Кстати, так же можно решать и в том случае, если на сгибе находится гравитирующая точечная масса; в этом случае плоскости будут протыкаться кеплеровской орбитой (либо гиперболой). Наконец, может гравитировать однородно тяжёлая линия сгиба..я, правда, не знаю, каково решение для аксиальной задачи, но не сомневаюсь - оно какое-то есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536

(Оффтоп)

dovlato в сообщении #418369 писал(а):
Я же и говорил - развлечь).

Невнятностью постановки задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 20:06 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Утундрий в сообщении #418400 писал(а):
Невнятностью постановки задачи?

Ну вот как сумел((. А задача мне самому нравится. По существу, расчётов никаких.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
dovlato в сообщении #418432 писал(а):
По существу, расчётов никаких.

Дык, симметрия, будь она неладна. Но где симметрия - там не интересно, а где интересно - там нет симметрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка в двугранном угле
Сообщение28.02.2011, 20:33 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Утундрий в сообщении #418435 писал(а):
Но где симметрия - там не интересно, а где интересно - там нет симметрии.

Спорить не возьмусь, а согласиться тоже не смогу. В конце концов, идея симметрии - в центре физики.
Кстати, у меня есть подозрение, что шарик в "той самой" яме достигнет левого или правого края тогда и только тогда, когда он пересекает ось симметрии ямы:
- либо ударившись в нижнюю её точку;
- либо находясь в этот момент в вершине одной из парабол.
Дык, симметрия)).. То, что это условие достаточно - ясно. А вот насчёт необходимости не ведаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group