2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Биноминальный ряд
Сообщение13.02.2011, 03:21 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Докажите, что:
$\sum\limits_{k=1}^{\infty } \binom{3k}{k}\left ( \frac{25k^2-k-6}{\left ( 2k+1 \right )13^k} \right )=6$

 Профиль  
                  
 
 Re: Биноминальный ряд
Сообщение17.02.2011, 01:19 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Легко выводится из формулы:
$$\sum_{n = 0}^{\infty} \binom{3k}{k} x^k = \frac{2}{\sqrt{4-27x}}\cdot \cos\frac{\arcsin\frac{\sqrt{27x}}{2}}{3}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Биноминальный ряд
Сообщение17.02.2011, 07:02 


19/01/11
718
Цитата:
$$\sum_{n = 0}^{\infty} \binom{3k}{k} x^k = \frac{2}{\sqrt{4-27x}}\cdot \cos\frac{\arcsin\frac{\sqrt{27x}}{2}}{3}.$$

но здесь $x^k$ /// это $ ( \frac{25k^2-k-6}{\left ( 2k+1 \right )13^k} \right )$??

 Профиль  
                  
 
 Re: Биноминальный ряд
Сообщение17.02.2011, 11:05 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
myra_panama
Ну так сведите это к производным/интегралам от указанной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биноминальный ряд
Сообщение17.02.2011, 22:27 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Спасибо, maxal, за оригинальную формулу! Если не секрет, как Вы ее вывели? И можно ли так же вывести формулу для суммы:
$\sum\limits_{k=0}^{\infty } \binom{4k}{k}x^k$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Биноминальный ряд
Сообщение17.02.2011, 23:40 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Vvp_57
См. формулу обращения Лагранжа в форме диагонализации в конце раздела 1: http://www.emis.de/journals/DMTCS/pdfpa ... AD0136.pdf
Возьмите $F(t) = 1$ и $\phi(t) = (1+t)^3$ или соответственно $\phi(t) = (1+t)^4$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group