2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re:
Сообщение23.03.2011, 00:38 


24/04/10
88
scwec в сообщении #426184 писал(а):
Так почему всё же из ${U_1}^2{U_2}^2={m_y}^2-(\frac{y_1}{2})^2$ следует,что
${U_1}^2={m_y}-\frac{y_1}{2}$
${U_2}^2={m_y}+\frac{y_1}{2}$
Кто-нибудь ответит?
Автор понятного объяснения пока не дал. А ведь это у него гвоздь доказательства.
Информация к размышлению:
Известна Leech's problem, которая имеет непосредственное отношение к теме:
Find two rational right-angled triangles on the same base whose heights are in the ratio N:1.
Решена для N=2,...,999, а может быть уже и дальше с помощью техники эллиптических кривых и в предположении, что верна гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера. Рациональные треугольники появляются с N=7.
Задача о рациональности-нерациональности длин медиан рационального прямоугольного треугольника сводится к проблеме Лича при N=2. Всего-то и надо доказать, что ранг эллиптической кривой $y^2=x^3+5x^2+4x$ равен нулю и вычислить группу кручения этой кривой.
Известные элементарные (без эллиптических кривых) доказательства при N=2, N=3 довольно непростые.
Делайте выводы.


Чтоб «не стрелять по воробьям из орудий» привожу ещё одно элементарное доказательство.

Для негативного решения достаточно доказать наличие одной ненатуральной медианы в элементарных чётно-однородных треугольниках Герона. Запишем формулу медианы $m_x :$$m_x  = \frac{{\sqrt {2(y_1^2  + z_1^2 ) - x_1^2 } }}{2},$ где $x_1  = U_1 U_2 ,y_1  = \frac{{U_2^2  - U_1^2 }}
{2},z_1  = \frac{{U_2^2  + U_1^2 }}{2}.$
Подставляя значения $x_1 ,y_1 ,z_1 $ в формулу, имеем:
$$m_x  = \frac{{\sqrt {2(y_1^2  + z_1^2 ) - x_1^2 } }}
{2} = \frac{{\sqrt {2\left[ {\left( {\frac{{U_2^2  - U_1^2 }}
{2}} \right)^2  + \left( {\frac{{U_2^2  + U_1^2 }}
{2}} \right)^2 } \right] - U_1^2 U_2^2 } }}
{2} = \frac{{\sqrt {U_1^4  - U_1^2 U_2^2  + U_2^4 } }}{2}.$$
Так как выражение $\left( {U_1^4  - U_1^2 U_2^2  + U_2^4 } \right) - $ не полный квадрат, медиана $m_x $ ненатуральная.

С уважением: Sándor

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.03.2011, 18:12 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Sandor, Вы забыли доказать, что ${U_1}^4-{U_1}^2{U_2}^2+{U_2}^4$ -не полный квадрат для любых натуральных ${U_1}\ne{U_2}$

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение26.03.2011, 13:24 


24/04/10
88
scwec в сообщении #426682 писал(а):
Sandor, Вы забыли доказать, что ${U_1}^4-{U_1}^2{U_2}^2+{U_2}^4$ -не полный квадрат для любых натуральных ${U_1}\ne{U_2}$


По определению:

Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов:
$$\left( {U_1^2  + U_2^2 } \right)\left( {U_1^4  - U_1^2 U_2^2  + U_2^4 } \right) = U_1^6  + U_2^6  = \left( {U_1^2 } \right)^3  + \left( {U_2^2 } \right)^3 .$$

С уважением: Sándor

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.03.2011, 20:19 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Sandor, приведенноё Вами очевидное тождество, конечно, не является доказательством.
Рекомендую ознакомиться с известным достаточно элементарным доказательством, например, в книге
L.J.Mordell
Diophantine Equations
Academic Press (London and New York)
1969 г. стр.20-21.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение27.03.2011, 18:11 


24/04/10
88
scwec в сообщении #427756 писал(а):
Sandor, приведенноё Вами очевидное тождество, конечно, не является доказательством.
Рекомендую ознакомиться с известным достаточно элементарным доказательством, например, в книге
L.J.Mordell
Diophantine Equations
Academic Press (London and New York)
1969 г. стр.20-21.

Указанные страницы книги (именно 20-21) на интернете недоступны. Если это не трудно, прошу Вас выслать по ЛС, для ознакомления.

Доказательство ненатурального значения медианы $m_x $ опирается на формулу сокращённого умножения. Она изначально доказана, не требует доказательства при исползовании. По определению: произведение суммы двух величин (любых натуральных значений $U_1  \ne U_2 $) на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. Следовательно, требуется лишь доказать, что выражение $\left( {U_1^4  - U_1^2 U_2^2  + U_2^4 } \right) - $ тоже не полный квадрат. Этот факт доказывается «очевидным тождеством». Ибо тождества нет, если подставленное выражение $\left( {U_1^4  - U_1^2 U_2^2  + U_2^4 } \right) - $ полный квадрат. Значит, медиана $m_x $ не имеет натурального значения. А множество натуральных чисел содержит любые натуральные значения $U_1^2  \ne U_2^2 .$ Получается, что Вы ставите под вопрос формулу сокращённого умножения.

С уважением: Sándor

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2011, 15:21 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Sandor,http://reslib.com/book/Diophantine_equations__Mordell_L_J__ - здесь можно почитать указанную книгу Л.Дж.Морделла.
В отношении Ваших умозаключений ничего не понял. Не понятно даже, доказали Вы что-нибудь в Вашем основном тексте или нет. Видно, не судьба.
На этом переписку с Вами заканчиваю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с целыми сторонами, медианами и плошадью?
Сообщение31.03.2011, 14:04 


24/04/10
88
r-aax

На первой странице допущена описка.

Неверно:$x^2  + y^2  = z^2 ,125^2  + 725^2  = 750^2 ,5^2  + 29^2  = 30^2 ,$
верно:$x = 125,y = 725,z = 750,x = 5,y = 29,z = 30.$

Приношу извинения.

С уважением: Sándor

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2011, 18:35 


16/08/05
1146
Формулы этой задачи продолжают удивлять, количество разностей квадратов в ней зашкаливает.

$16s^2=(2am_a)^2-(b^2-c^2)^2=(2bm_b)^2-(c^2-a^2)^2=(2cm_c)^2-(a^2-b^2)^2$
и
$9s^2=(\frac{3}{2}am_a)^2-(m_b^2-m_c^2)^2=(\frac{3}{2}bm_b)^2-(m_c^2-m_a^2)^2=(\frac{3}{2}cm_c)^2-(m_a^2-m_b^2)^2$

Получается, в случае наличия натурального решения катету $4s$ должны соответствовать шесть разных пифагоровых треугольников. В книге Серпинского "Пифагоровы треугольники" написано, что существует конечное число пифагоровых треугольников с одинаковым катетом. Но зависимость от величины катета непонятна. Численным перебором легко найти треугольник с двумя натуральными медианами и натуральной площадью. Может таки решение существует?

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение31.03.2011, 22:49 


24/04/10
88
dmd в сообщении #429621 писал(а):
Формулы этой задачи продолжают удивлять, количество разностей квадратов в ней зашкаливает.

$16s^2=(2am_a)^2-(b^2-c^2)^2=(2bm_b)^2-(c^2-a^2)^2=(2cm_c)^2-(a^2-b^2)^2$
и
$9s^2=(\frac{3}{2}am_a)^2-(m_b^2-m_c^2)^2=(\frac{3}{2}bm_b)^2-(m_c^2-m_a^2)^2=(\frac{3}{2}cm_c)^2-(m_a^2-m_b^2)^2$

Получается, в случае наличия натурального решения катету $4s$ должны соответствовать шесть разных пифагоровых треугольников. В книге Серпинского "Пифагоровы треугольники" написано, что существует конечное число пифагоровых треугольников с одинаковым катетом. Но зависимость от величины катета непонятна. Численным перебором легко найти треугольник с двумя натуральными медианами и натуральной площадью. Может таки решение существует?


Как я писал раньше, треугольник с катетом 4s и 3s не имеет прямого отношения к треугольникам Герона с площадью 4s и 3s. Но если рассматривать любой треугольник Пифагора с катетом $4s = 2U_1 U_{2,} $ где $\left( {U_1 ,U_2 } \right) = d \geqslant 1 - $ нечётные числа, то из катета $4s = 2U_1 U_{2} $ исходного треугольника можно получить j треугольников Пифагора с тем же общим катетом, где j определяется значением $U_1 U_2 $. Методика приведена в первой части этой темы, начиная от заголовка "Определение исходных треугольников". Например, при $U_1  = 15,U_2  = 28$ получаем $j = 276$.

Согласно доказательству, треуголтника Герона с тремя натуральными медианами не существует. Приведите, пожалуйста, пример треуголтника Герона с двумя натуральными медианами.

С уважением: Sándor

 Профиль  
                  
 
 Re: Re:
Сообщение01.04.2011, 07:24 


16/08/05
1146
Sandor в сообщении #429719 писал(а):
Приведите, пожалуйста, пример треуголтника Герона с двумя натуральными медианами.

Нашел таких несколько, у которых половинки сторон взаимнопросты:

$\{146,102,52\}$
$\{1750,1252,582\}$
$\{8736,7346,2482\}$
$\{29582,28768,22514\}$

Из вышеприведённых порождаются другие треугольники с невзаимнопростыми половинками сторон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с целыми сторонами, медианами и плошадью?
Сообщение24.12.2011, 21:50 


24/12/11
5
вот решение проблемы
a=12 b=16 c=20 poluperimeter=24 mediana=10 square=96
Все числа целые!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с целыми сторонами, медианами и плошадью?
Сообщение25.12.2011, 08:57 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
В смысле
palladin89 в сообщении #519399 писал(а):
mediana=10
? Отдельные несознательные личности утверждают, что в треугольнике есть аж три медианы, а вовсе не одна. К примеру, та, что опущена на сторону $a$, в вашем треугольнике будет равна $2 \sqrt{73}$. Это число не целое, однако. Контрпример не засчитан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с целыми сторонами, медианами и плошадью?
Сообщение25.12.2011, 11:18 


24/12/11
5
так хорошо возникает вопрос, необходимо отталкиваться от равностороннего треугольника, т.о. получится что все медианы равны?

-- 25.12.2011, 12:24 --

а как вам такой результат
a=b=c=140737488355328
poluperimeter=211106232532992
mediana=121882240180531
square=8576700179064360000000000000,0

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с целыми сторонами, медианами и плошадью?
Сообщение25.12.2011, 13:57 


01/07/08
836
Киев
palladin89 в сообщении #519529 писал(а):
а как вам такой результат
a=b=c=140737488355328
poluperimeter=211106232532992
mediana=121882240180531
square=8576700179064360000000000000,0

Вы показали, что $\frac {\sqrt 3} 2$ является рациональным числом. :roll:
Вычисления, похоже, Вы никогда не любили. С бесконечным уважением :D ,

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с целыми сторонами, медианами и плошадью?
Сообщение25.12.2011, 18:46 


24/04/10
88
palladin89 в сообщении #519399 писал(а):
вот решение проблемы
a=12 b=16 c=20 poluperimeter=24 mediana=10 square=96
Все числа целые!!!


Формулы, генерирующие треугольники Герона, выше приведены правильно! Доказательство дилеммы существования 3-х целочисленных медиан у треугольников Герона – неверное! dmd выше приводит примеры треугольникиов Герона с любыми двумя натуральными медианами, что и приводит к осложнению доказательства. Треугольников Герона с равными сторонами не существует. Площадь таких треугольников, исходя из формулы Герона, иррациональная: $$\omega  = \frac{{\sqrt 3 }}
{4}a^2 ,$$где а – стороны треугольников.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 60 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group