2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как подсчитать? (формула для числа пи)
Сообщение02.10.2006, 20:33 


20/02/06
113
Каким образом можно подсчитать/доказать что:\sum {\frac{1}{{n^2 }}}  = \frac{{\pi ^2 }}{6} в частности интересуют способы не использующие ряд арксинусов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2006, 20:40 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
можно решить через интегралы

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\int_0^{\infty}dx\int_x^{\infty} \frac{dt}{e^t-1}=\frac{\pi^2}{6}
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2006, 20:45 


20/02/06
113
Это конечно здорово, но мне не совсем понятен переход. Можно по подробнее (если не затруднит)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2006, 21:05 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
ну разумеется не затруднит. Нужно воспользоваться равенством

$$
\frac{1}{n^2}= \int_0^{\infty} dx \int_x^{\infty} dt\, e^{-nt}
$$

ну а дальше вычисляем сумму геометрической прогрессии

$$
\sum_{n=1}^{\infty} q^n=\frac{q}{1-q}, \ \ \ \ q=e^{-x}.
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2006, 21:11 


20/02/06
113
Аурелиано Буэндиа писал(а):
ну разумеется не затруднит. Нужно воспользоваться равенством

$$
\frac{1}{n^2}= \int_0^{\infty} dx \int_x^{\infty} dt\, e^{-nt}
$$

^^^^^^ ?????? Откуда равенство? Тут ничего не напутно? :?
Аурелиано Буэндиа писал(а):
ну а дальше вычисляем сумму геометрической прогрессии

$$
\sum_{n=1}^{\infty} q^n=\frac{q}{1-q}, \ \ \ \ q=e^{-x}.
$$

^^^^^Вот тут можно подробнее? :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2006, 21:20 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
равенство

$$
\frac{1}{n^2}= \int_0^{\infty} dx \int_x^{\infty} dt\, e^{-nt}
$$

я сам сконструировал. Можно вычислить интегралы при $n>0$ и убедиться, что оно верно.
Cобственно, нет времени расписывать очень подробно (все довольно тривиально). Ключевое равенство

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \int_0^{\infty}dx \int_x^{\infty}dt \ \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nt} $$

ну а дальше стандартные формулы для геометрической прогрессии

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2006, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Есть еще способ, основанный на разложении в ряд Фурье функции
$y = x^2 $ на интервале$( - \pi \;,\;\pi )$ по косинусам кратных дуг.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2006, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Brukvalub писал(а):
Есть еще способ, основанный на разложении в ряд Фурье функции
$y = x^2 $ на интервале$( - \pi \;,\;\pi )$ по косинусам кратных дуг.


Да, это классический пример на равенство Бесселя (делать через коэффициенты ряда Фурье - можно как комплексных, так и реельных). По моему, если хорошо поискать, на форуме должно быть в решённом виде.

Добавлено спустя 6 минут 7 секунд:

C0rWin писал(а):
Аурелиано Буэндиа писал(а):

$$
\sum_{n=1}^{\infty} q^n=\frac{q}{1-q}, \ \ \ \ q=e^{-x}.
$$

^^^^^Вот тут можно подробнее? :roll:


Да это конечно-же не для всех $q$, а для тех которые меньше 1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2006, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Есть еще и эйлеровский способ, основанный на разложении синуса в произведение $\sin x = x \prod\limits_{n=1}^\infty (1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})$. Из него Эйлер делает вывод о коэффициете при $x^3$, и приравнивает третью производную левой и правой части. (Все это содержит элементы весьма сомнительной формальности, включая объяснение разложения синуса в произведение. Но это исторически первый способ решения данной задачи.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group