2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Другие решения диофантова уравнения
Сообщение20.02.2011, 08:51 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
По размерности не совпадают вторые члены, т.е. должно быть в числителе
$27y^6-36z^2y^3+8z^4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Другие решения диофантова уравнения
Сообщение20.02.2011, 16:45 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Для age: извиняюсь, в первой скобке вместо $36z^2y^2$ должно быть $36z^2y^3$

-- Вс фев 20, 2011 17:48:59 --

Для age: извиняюсь, в первой скобке вместо $36z^2y^2$ должно быть $36z^2y^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Другие решения диофантова уравнения
Сообщение20.02.2011, 22:47 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Теперь получилось
$\left(\dfrac{27y^6-36z^2y^3+8z^4} {8z^3}}\right)^2-\left(\dfrac{9y^4-8z^2y} {4z^2}\right)^3=\dfrac{27y^9-34y^6z^2+8z^6}{8z^4}$. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Другие решения диофантова уравнения
Сообщение22.02.2011, 17:40 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
age, Вы ошибаетесь в вычислениях. Возьмите $z=y=1$. Тогда в левой части равенства у Вас $0$, а в правой $\frac{1} {8}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Другие решения диофантова уравнения
Сообщение22.02.2011, 21:59 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Да, верно. Увидел.
$\left(\dfrac{27y^6-36z^2y^3+8z^4} {8z^3}}\right)^2-\left(\dfrac{9y^4-8z^2y} {4z^2}\right)^3=z^2-y^3$.
Это даёт различные пары рациональных чисел (при взаимно простых $y,z$), разность квадрата и куба которых есть целое число. Но нам рациональные числа не интересны. Нам гораздо интереснее целые числа.
Поэтому лучше переписать:
$(27y^6-36z^2y^3+8z^4)^2-(9y^4-8z^2y^3)^3=64z^6(z^2-y^3)=64z^8-64y^3z^6$.
Правая часть этого уравнения есть не что иное как $a^2-b^3$. Т.е. предложенное вами уравнение есть не что иное как параметризация уравнения:
$p^2-q^3=a^2-b^3$, дающая бесконечное множество его решений.
К сожалению, боюсь, данная параметризация не может помочь ответить на вопрос: можно ли представить видом $z^2-y^3$ любую степень числа $p^n$. Хотя, стоп, может и можно.... Надо подумать.... Идея есть

-- Вт фев 22, 2011 23:09:16 --

Нет, с помощью данной параметризации нельзя. Данная параметризация показывает, что всякой форме $p^2-q^3$ соответствует точно такая же форма $a^2-b^3$ в первой степени и обратно (но не квадрат, не куб и не какая-либо иная степень формы). Т.е. формы $a^2-b^3$ не мультипликативны, как скажем, $a^2+b^2$ или $a^2\pm ab+b^2$ (другие мультипликативные формы мне неизвестны).

Это подтверждает выдвинутый тезис о том, что невозможно составить параметрическое уравнение мультипликации: $(a^2-b^3)(c^2-d^3)=p^2-q^3$. Если подобные решения и существуют, то они носят "частный" несистемный характер и не могут являться частными решениями какого-либо параметрического уравнения. Т.е. их лишь ограниченное число.

Кстати, забавно!
Т.к. из вашей параметризации следует решение уравнения $p^2-q^3=a^2-b^3$, то перенеся куб из правой части в левую, получим, что форма $b^3-q^3+p^2$ - мултипликативна, т.к.:
$(9y^4-8z^2y^3)^3-(4yz^2)^3+(8z^4)^2=(27y^6-36z^2y^3+8z^4)^2$.

(Оффтоп)

здесь просто надо поискать исходную параметризацию вида $(a^3-b^3+p^2)(c^3-d^3+q^2)=m^3-n^3+t^2$, частным случаем которой является ваша, если $a=c,b=d,p=q$

Т.е. по идее уравнение $a^3-b^3+c^2=p^n$ имеет бесчисленное множество решений для любых $n$. То же самое касается и уравнения $a^3+b^3+c^3=p^n$ :-)

-- Вт фев 22, 2011 23:44:26 --

age в сообщении #415886 писал(а):
здесь просто надо поискать исходную параметризацию вида $(a^3-b^3+p^2)(c^3-d^3+q^2)=m^3-n^3+t^2$, частным случаем которой является ваша, если $a=c,b=d,p=q$

Ан-нет, нельзя: $27y^6-36z^2y^3+8z^4$ это почти $m^3-n^3+t^2$, но не оно :-(
Поэтому и тезис:
age в сообщении #415886 писал(а):
Т.е. по идее уравнение $a^3-b^3+c^2=p^n$ имеет бесчисленное множество решений для любых $n$. То же самое касается и уравнения $a^3+b^3+c^3=p^n$ :-)

спорен :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Другие решения диофантова уравнения
Сообщение28.02.2011, 21:34 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Для age:замечу, что в случае $n=6k$ где $k$-натуральное число, интересующих Вас решений нет.
Поэтому Вы их и не получили для $n=6$ при расчетах на компьютере.
Это легко вытекает из трех обстоятельств.
1. Ранг эллиптической кривой $z^2=y^3+1$ равен нулю, следовательно, на кривой нет рациональных точек бесконечного порядка.
2. Все рациональные точки конечного порядка для этой кривой известны.
Это $(y,z)=(-1,0), (0,1), (0,-1), (2,3), (2,-3)$.
3. Указанная эллиптическая кривая получается из Вашего уравнения делением его на $x^{6k}$ и заменой переменных $Z=\dfrac{z} {x^{3k}}$ $Y=\dfrac{y} {x^{2k}}$.
Из этого замечания следует, что имеет смысл, видимо, рассматривать только $n<6$
То, что Вы так удачно получили решение при $n=7$ тоже имеет подоплеку в свойствах эллиптической кривой $z^2=y^3+2$.
(Она получается из Вашего уравнение делением его на$2^6$).
Дело в том, что эта эллиптическая кривая имеет нулевую группу кручения, а ранг ее равен 1
и все рациональные точки на ней, а их бесконечно много, получаются из одной $(y,z)=(\dfrac {17} {4}, \dfrac {71} {8})$ применением, например, предложенного мной тождества, а также проведением секущих через получаемые рациональные точки. Не исключено, что будут получаться и целые значения, которые Вас и интересуют. Совершенно точно только то, что в данном случае их будет конечное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Другие решения диофантова уравнения
Сообщение01.03.2011, 20:08 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
scwec в сообщении #418462 писал(а):
Дело в том, что эта эллиптическая кривая имеет нулевую группу кручения, а ранг ее равен 1
и все рациональные точки на ней, а их бесконечно много, получаются из одной $(y,z)=(\dfrac {17} {4}, \dfrac {71} {8})$ применением, например, предложенного мной тождества, а также проведением секущих через получаемые рациональные точки. Не исключено, что будут получаться и целые значения, которые Вас и интересуют. Совершенно точно только то, что в данном случае их будет конечное число.

Рациональных, по-моему, тоже будет только конечное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Другие решения диофантова уравнения
Сообщение01.03.2011, 20:56 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Для age: Элиптическая кривая имеет бесконечно много рациональных точек тогда и только тогда, когда ее ранг больше нуля. В нашем случае он равен 1, следовательно рациональных точек на кривой $z^2=y^3+2$ бесконечно много
По поводу конечного числа целых точек: Л.Дж. Морделл доказал, что любая эллиптическая кривая содержит лишь конечное число целых точек.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group