Решить систему методом Жордана-Гаусса

[Anastasia123]

$ \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{2_{X1}} + } & {{5_{X2}} - } & {{4_{X3}} = 8} \\ {{3_{X1}} + } & {{{15}_{x2}} - } & {{9_{X3}} = 5} \\ {{5_{X1}} + } & {{5_{X2}} - } & {{7_{X3}} = 1} \\ \end{array} } ]$

не могу понять смысл ее решения.Не понятно что на что умножать,вот например (не этот пример) :из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -2;--почему на -2 или на -3.Не пойму сути.Помогите разобраться

[Troll1984]

Сначала делаем так, чтобы в первом столбце был только один ненулевой элемент.
Для этого можно из второй строки вычесть первую, тогда во второй строке в первом столбце будет стоять 1. А дальше из первой строки вычтем удвоенную вторую, чтобы в первой строке в первом столбце был 0, а из третьей строки вычтем вторую, умноженную на 5. Также получим 0.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Anastasia123 в сообщении #407328 писал(а):

$ \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{2_{X1}} + } & {{5_{X2}} - } & {{4_{X3}} = 8} \\ {{3_{X1}} + } & {{{15}_{x2}} - } & {{9_{X3}} = 5} \\ {{5_{X1}} + } & {{5_{X2}} - } & {{7_{X3}} = 1} \\ \end{array} } ]$

Шедевр типографики. Надо скорее переписать!

А над матрицами разве не удобнее делать преобразования? А то все эти иксы с собой таскать…

[caxap]

В школе есть такой "метод сложения" для решения линейных систем -- это метод Гаусса и есть:

$$\begin{cases}2x+y=3\\x-3y=1~~|\times (-2)\end{cases}\iff \begin{cases}2x+y=3\\-2x+6y=-2\end{cases}\Rightarrow 7y=1\Rightarrow \ldots$$

[Anastasia123]

caxap в сообщении #407339 писал(а):

В школе есть такой "метод сложения" для решения линейных систем -- это метод Гаусса и есть:

$$\begin{cases}2x+y=3\\x-3y=1~~|\times (-2)\end{cases}\iff \begin{cases}2x+y=3\\-2x+6y=-2\end{cases}\Rightarrow 7y=1\Rightarrow \ldots$$

Знаете я тоже думала что это он.Но наш любимый преподаватель в университете говорит что это не он.И что им решать не стоит если мы хотим хорошую оценку)))

[Maslov]

В методе Гаусса-Жордана матрица системы приводится к единичной (а не к треугольной, как в методе Гаусса).

[integral2009]

Метод Жордана-Гаусса заключается в том, чтобы получить нули везде, кроме главной диагонали)
Чтобы эти нули сделать, предлагаю начать с 3 строки, 1-го столбца (если делать другим способом, будет хуже). Там нужно, чтобы был ноль. Как там сделать ноль? Какое наименьшее общее кратное у чисел, стоящий в первом столбце?)

[Anastasia123]

integral2009 в сообщении #407360 писал(а):

Метод Жордана-Гаусса заключается в том, чтобы получить нули везде, кроме главной диагонали)
Чтобы эти нули сделать, предлагаю начать с 3 строки, 1-го столбца (если делать другим способом, будет хуже). Там нужно, чтобы был ноль. Как там сделать ноль? Какое наименьшее общее кратное у чисел, стоящий в первом столбце?)

15 наверно?))

[Joker_vD]

Есть надежный, но муторный путь: делите первое уравнение пополам, вычитаете из второго первое, умноженное на два, из третьего — первое, умноженное на три. Так, теперь в первом столбце у нас единица и два нуля. Смотрим на второе уравнение, делим его на коэффициент при $x_2$ и вычитаем его (домноженное на сколько надо) из первого и третьего. Теперь третье делим на коэффициент при $x_3$ и вычитаем его из первого и второго. Все.

Другое дело, что вы в дробях утонете.

[arseniiv]

Неправильно. 15 не кратно двум.

[integral2009]

Anastasia123 в сообщении #407361 писал(а):

15 наверно?))

Да для $5$ и $3$ именно такое наименьшее общее кратное)
Теперь нужно, чтобы в 3 строке 1 столбце стояло число $15$ и во 2 строке 1 столбце было число 15. Для этого нужно умножить каждую из этих строк на определенное число. Потом, если вычтем из 3-ей строки вторую, то получим ноль в 3 строке, 1 столбце!!!! Если поймете это, все дальше делать будет очень легко!

[OcbMuHor]

начните с того что нужно проверить совместимость. Представленная система линейных уравнений не имеет решения т.к. ранг матрицы не равен рангу расширенной матрицы. Честно говоря сам тяжело догоняю этот метод и поэтому пользуюсь софтом. Проверьте систему на ошибки, очепятки.

[arseniiv]

OcbMuHor в сообщении #407383 писал(а):

начните с того что нужно проверить совместимость.

Для этого метода проверка совместности не нужна! Всё узнается в процессе нахождения решения.

[integral2009]

OcbMuHor в сообщении #407383 писал(а):

начните с того что нужно проверить совместимость. Представленная система линейных уравнений не имеет решения т.к. ранг матрицы не равен рангу расширенной матрицы. Честно говоря сам тяжело догоняю этот метод и поэтому пользуюсь софтом. Проверьте систему на ошибки, очепятки.

Проверить на совместимость - сложнее, чем решить(если решать без матем. пакетов) ИМХО)

[OcbMuHor]

arseniiv в сообщении #407388 писал(а):

OcbMuHor в сообщении #407383 писал(а):

начните с того что нужно проверить совместимость.

Для этого метода проверка совместности не нужна! Всё узнается в процессе нахождения решения.

Абсолютно с Вами согласен... но зачем решать если решений нет? хотя вопрос наверное из разряда риторических.
Давайте по порядку:
1. делим первую строку на 2
перезаписываем первую строку
ко второй строке прибавляем -3*на соответствующую ячейку первой строки
к третьей строке прибавим -5*на соответствующую ячейку первой строки
значения ячеек перезаписываем.
2. делим вторую строку на 15/2
переписываем вторую строку
к первой строке прибавляем соответствующуюю ячейку второй строки*-5/2
к третьей строке прибавляем соответсвующую ячейку второй строки* 15/2
результаты перезаписываем
Выглядит это так:
$\[\left( {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5&{ - 4} \\ 3&{15}&{ - 9} \\ 5&5&{ - 7} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 8 \\ 5 \\ 1 \end{array}} \right) \sim \left( {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\frac{5}{2}}&{ - 2} \\ 0&{\frac{{15}}{2}}&{ - 3} \\ 0&{ - \frac{{15}}{2}}&3 \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ { - 7} \\ { - 19} \end{array}} \right) \sim \left( {\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1} \\ 0&1&{ - \frac{2}{5}} \\ 0&0&0 \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{19}}{3}} \\ { - \frac{{14}}{{15}}} \\ { - 26} \end{array}} \right)\]$
Система решений не имеет.
Наконец-то я осмыслил этот алгоритм. Вот очень наглядная картинка алгоритма



P.S. Не стоит благодарности, старался для себя и общественности