2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 10  След.
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 12:23 
Заслуженный участник


10/08/09
599
Андрей АK в сообщении #404737 писал(а):
В этом вся проблема.

Не вижу проблемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 12:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
Андрей АK в сообщении #404724 писал(а):
Я никогда не говорил, что множество рациональных чисел (рациональная система счисления) самая лучшая - я говорил, что она самодостаточная.
Что это значит? Факт заключается в том, что нельзя указать рациональное число, в точности равное $\sqrt{2}$. Это и означает, что $\sqrt{2}$ - иррациональное число.

Андрей АK в сообщении #404724 писал(а):
Т.е. используя ряды рациональных чисел...
Ряд рациональных чисел - это совершенно новый объект. Совершенно не обязательно он будет равен какому-либо рациональному числу. Существует совершенно отдельная проблема как записать на бумаге такой объект, как "ряд рациональных чисел". Как правило, если это вообще возможно, он определяется формулой или алгоритмом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 14:47 


01/07/08
836
Киев
Xaositect в сообщении #404618 писал(а):
Это просто, периметр вписанного в единичную окружность $2^n$-угольника вполне считается конечным алгоритмом и является при увеличении $n$ сколь угодно хорошим приближением числа $2\pi$


Андрей АK в сообщении #404640 писал(а):
Теперь я считаю рациональные/алгебраические числа примером бесконечных алгоритмов, а насчет остального еще надо разобраться - могут ли существовать числа (и алгоритмы) содержащие бесконечно большой объем информации?


А $\pi$ все таки трансцендентное число. :-) Где то (кажется в школе) уже рассматривался процес для вычисления $\pi$, только рассматривались все вписанные и все описанные многоугольники. Наша дискусия имеет такой же шанс на решение, какова вероятность равенства периметров вписанного и описанного многоугольников. С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 15:32 


19/11/08
347
Xaositect в сообщении #404743 писал(а):
Андрей АK в сообщении #404737 писал(а):
Да , совершенно верно - это утверждение неверно.
Отлично.
Я сейчас напишу доказательство, а Вы скажете, где ошибка.

Будем обозначать машину, задаваемую программой $x$ символом $M_x$.
1. Допустим, требуемая машина существует. Обозначим эту машину $A$.
Напомню, что мы хотим, чтобы выполнялось следующее:
а) $x$ - не программа => $A(x, y) = 0$
б) $M_x(y)$ останавливается => $A(x, y) = 1$
в) $M_x(y)$ не останавливается => $A(x, y) = 0$

2. Построим на основе программы машины $A$ программу для другой машины $B$, которая принимает один параметр-строку, и работает следующим образом:
Если $A(x, x) = 0$, то $B$ завершает работу.
Если $A(x, x) = 1$, то $B$ продолжает работу бесконечно.
При желании я могу явно выписать преобразование программы машины $A$ в программу машины $B$. Надеюсь, Вы можете и сами это сделать.

3. Обозначим программу машины $B$ буквой $b$, т.е. $B = M_b$. Рассмотрим значение $B(b)$.
Значение $B(b)$ зависит от значения $A(b,b)$. Рассмотрим каждый из трех случаев:
а) случай (а) реализоваться не может, т.к. $b$ является программой некоторой машины.
б) пусть $M_b(b)$ останавливается. Тогда $A(b,b) = 1$ и $B(b)$ зацикливается. Т.к. $B = M_b$, получаем $B(b)$ останавливается => $B(b)$ не останавливается.
в) пусть $M_b(b)$ не останавливается. Тогда $A(b,b) = 0$ и $B(b)$ останавливается. Т.к. $B = M_b$, получаем $B(b)$ не останавливается => $B(b)$ останавливается.

В итоге получаем:
$B(b)$ не останавливается <=> $B(b)$ останавливается.
Противоречие.

Здесь, ошибка в выражении $A(x, x)$
Если в качестве первого параметра вы можете подставить "голый алгоритм", то в качестве второго - это уже будет неверно, поскольку входной параметр для этого есть алгоритм вместе с другим входным параметром.
Т.е.
$A(x, A(x,x))$
Для следующей подстановки (если вы переопределяя переменные пытаетесь вновь подставить весь этот алгоритм в A) вы получите $A(x,A(x, A(x,x)))$ а вовсе не превоначальный вариант $ A(x,x)$ который ,вообще говоря, тоже некорректен, поскольку не было указано, какой самый первый параметр используется в x.
Т.е. пока полностью не сформирован алгоритм A (не указано, какие в него будут передаваться параметры, иначе, этих параметров в природе не существует) нельзя создать и алгоритм B.

Если же вы, создадите "незавершенные" алгоритмы A и B и только только потом так перенаправите ссылки, чтоб они друг друга циклически вызывали, то это у вас будет всего лишь зацикленный код.
Программу с зацикленным кодом можно считать некорректной, которая никогда не завершится.
Поэтому достаточно вставить в одном из участков блок, отлавливающий ситуацию возникновения бесконечных циклов и выводящий после этого конкретный результат (0), как все неопределенности сразу пропадут.

Кроме того есть еще одно место ,где можно указать на ошибку, это:
"Построим на основе программы машины $A$ программу для другой машины $B$, которая принимает один параметр-строку"
Здесь указано , что в качестве параметра передается строка.
Но в этой строке должно быть упакован не только сам код, но и те параметры ,которые в этот код будут переданы.

А код+параметры никогда не будут равны только коду.
Т.е. опять же ситуация $ A(x,x)$ никогда не может быть реализована.
Тут же по умолчанию считается, что как только некоторые параметры будут переданы в алгоритм B, так они сразу "волшебным образом" модифицируют код алгоритма A так, что эти же параметры будут переданы в него, в качестве исходных, когда , на само деле должна произойти цепочка передач параметров, В конце которой никак не может оказаться ситуация $ A(x,x)$.

Еще одно ,последнее возражение:
Ошибка типов: Ведь сказано же что в $ A(x,y)$ $x$ - это код, а $ y$-это его параметры.
Здесь же производится передача ,в качестве первого параметра, код+параметры либо код без параметров, что есть нарушение условия.

PS
Это то , что я сходу смог найти.
Потом выберу один окончательный вариант.

-- Ср янв 26, 2011 16:42:26 --

epros в сообщении #404754 писал(а):
Андрей АK в сообщении #404724 писал(а):
Я никогда не говорил, что множество рациональных чисел (рациональная система счисления) самая лучшая - я говорил, что она самодостаточная.
Что это значит? Факт заключается в том, что нельзя указать рациональное число, в точности равное $\sqrt{2}$. Это и означает, что $\sqrt{2}$ - иррациональное число.

Как называть - это уже другой вопрос.
Вы это называете иррациональным числом, я - алгебраическим.
Но для того чтоб доказать, что существует такое множество "иррациональных чисел" - недостаточно доказать, что есть числа, которые не равны рациональным.
Я под множеством "иррациональных чисел" подразумеваю те числа, которые не равны рациональным и ... их количество несчетно.
Т.е. надо еще доказать несчетность иррациональных чисел.
Если нет - то эти числа так и останутся алгебраическими - и будут всего лишь одной из систем позиционирования на множестве "алгоритмических" чисел.
Число которых хоть и счетно ... но для них невозможно создать единую универсальную систему позиционирования.
Поэтому надо выбирать какой-то неидеальный вариант и рациональные числа - один из таких вариантов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Андрей АK в сообщении #404827 писал(а):
Если в качестве первого параметра вы можете подставить "голый алгоритм", то в качестве второго - это уже будет неверно, поскольку входной параметр для этого есть алгоритм вместе с другим входным параметром.
Входные параметры - произвольные строки.
Вы утверждаете, что если есть машина, принимающая две строки, то нельзя сделать машину, принимающую одну строку, копирующую ее и запускающую исходную машину?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
Андрей АK в сообщении #404827 писал(а):
Но для того чтоб доказать, что существует такое множество "иррациональных чисел" - недостаточно доказать, что есть числа, которые не равны рациональным.
"Иррациональное" = "не рациональное".

Андрей АK в сообщении #404827 писал(а):
Т.е. надо еще доказать несчетность иррациональных чисел.
Несчётность - это второй вопрос. Например, множество конструктивных действительных чисел счётно (с точки зрения классического анализа). Но существование-то иррациональных чисел, надеюсь, Вы не станете отрицать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 16:34 


19/11/08
347
Xaositect в сообщении #404836 писал(а):
Андрей АK в сообщении #404827 писал(а):
Если в качестве первого параметра вы можете подставить "голый алгоритм", то в качестве второго - это уже будет неверно, поскольку входной параметр для этого есть алгоритм вместе с другим входным параметром.
Входные параметры - произвольные строки.
Вы утверждаете, что если есть машина, принимающая две строки, то нельзя сделать машину, принимающую одну строку, копирующую ее и запускающую исходную машину?

Ну вот смотрите: Машина B принимает строку - это должна быть строка: "код алгоритма+параметры к нему".
Либо только "код алгоритма" (без параметров).
Теперь она хочет передать это в машину A ... но у A первый параметр - это исключительно код алгоритма.
А вот второй параметр - это "код алгоритма+параметры к нему".
Передавая в качестве обеих параметров одно и то же вы нарушите требования к типу передаваемого значения.
Вообще это разделение на два пареметра у функции A сделано исключительно для запутывания тех кто будет разбираться.
К тому же сама машина Тьюринга - это еще тот монстр маразма.

Особенно запутывают безусловные переходы - создается иллюзия, что имеет место обращение к одной и той же функции, однако функции еще отличаются не только собственным кодом, но и еще количеством циклов самовызова (которое в нормальных языках должно кодироваться в передаваемых параметрах, а в языках с безусловными переходами замаскировано в стеке или безвозвратно теряется - но тогда это называется код с ошибками).

-- Ср янв 26, 2011 17:37:05 --

epros в сообщении #404855 писал(а):
"Иррациональное" = "не рациональное".

Это - определение через отрицание.
Такое определение некорректно и приводит к парадоксам (как например "множество всех множеств").

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Андрей АK в сообщении #404863 писал(а):
Теперь она хочет передать это в машину A ... но у A первый параметр - это исключительно код алгоритма.
Нет. Я специально по этому поводу и в формулировке написал уточнение, и в доказательстве явно выписал пункт (а). Вы все-таки не согласны с формулировкой?

(Оффтоп)

Кроме того, это вообще несущественно. Я могу взять модель, где любая строка является программой, но мне не хочется сопутствующие технические детали разгребать


Андрей АK в сообщении #404863 писал(а):
К тому же сама машина Тьюринга - это еще тот монстр маразма.
Какое математическое определение алгоритма Вас устроит?
Собственно, я могу не привязываться даже к конкретному определению, а просто сформулировать, какие свойства модели вычислений используются в доказательстве. В конце концов, теорема верна не только для класса вычислимых функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 16:59 
Заслуженный участник


10/08/09
599
Ну, давайте вместо воображаемой машины Тьюринга возьмём обычный компьютер.

Предположим - только предположим - что есть программа stops, такая, что вызов stops program arg выводит 1, если вызов program arg останавливается, и 0 - если этот вызов уходит в бесконечный цикл; что она будет делать, если программы под названием program не существует - несущественно.

То есть, скажем вызов
Код:
stops echo whatever

выведет 1, а
Код:
stops yes whatever

выведет 0 (yes - программа, которая свой единственный аргумент бесконечно выводит на экран, никогда не останавливаясь).

Если такая программа есть, то я напишу следующую программу:
Код:
$ cat diag.sh
if (($(stops $1 $1) == 1)); then yes > /dev/null; fi

Вызов ./diag.sh program завершится, если вызов stops program program вернёт 0 - то есть, по определению stops, тогда и только тогда, когда вызов program program НЕ завершится.

Теперь попробуйте понять, что вызов
Код:
$ ./diag.sh ./diag.sh

не может ни завершиться, ни не завершиться. Противоречие.

Вопрос: какой из этих шагов, по-вашему, не получится сделать? Написать программу diag.sh? Я вам её уже написал. Сделать вызов ./diag.sh ./diag.sh? Вот ровно так и делается.

Так как противоречий в реальном мире быть не может, значит, программа stops с указанным свойством существовать не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 17:11 


19/11/08
347
Xaositect в сообщении #404868 писал(а):
Какое математическое определение алгоритма Вас устроит?
Собственно, я могу не привязываться даже к конкретному определению, а просто сформулировать, какие свойства модели вычислений используются в доказательстве. В конце концов, теорема верна не только для класса вычислимых функций.

Не надо сложных моделей вычисления.
Возьмем префиксные функции:
Пусть строка с параметрами передаются в алгоритм приписыванием этой строки справа к коду алгоритма.
Т.е. $P(X)$ - это просто строка $PX$
($P(X,Y)$ -> $PXY$)
В такой модели нет безусловных переходов и ссылок по номерам.
Так, что сначала попробуйте доказать существование невычислимых функций в такой модели.

Если это не получится, то придется признать, что все дело в неких ссылках - номерах в базе данных или безусловных переходах - только с их использованием можно доказать существование невычислимых функций или проблемы остановки.

Тогда можно будет отдельно их обсудить на предмет - корректно или не корректно их использование в контрпримерах?
Вполне может оказаться что в некоторых случаях - некорректно (и это как раз те самые случаи в которых доказывается невозможность существования анализатора).

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Андрей АK в сообщении #404885 писал(а):
Xaositect в сообщении #404868 писал(а):
Какое математическое определение алгоритма Вас устроит?
Собственно, я могу не привязываться даже к конкретному определению, а просто сформулировать, какие свойства модели вычислений используются в доказательстве. В конце концов, теорема верна не только для класса вычислимых функций.

Не надо сложных моделей вычисления.
Возьмем префиксные функции:
Пусть строка с параметрами передаются в алгоритм приписыванием этой строки справа к коду алгоритма.
Т.е. $P(X)$ - это просто строка $PX$ ($P(X,Y)$ -> $PXY$)
В такой модели нет безусловных переходов и ссылок по номерам.
Так, что сначала попробуйте доказать существование невычислимых функций в такой модели.
Либо я Вас не понял, либо в такой модели даже возведение в квадрат нельзя написать.
Нельзя ли подробнее?

-- Ср янв 26, 2011 17:15:04 --

Или Вы комбинаторы имеете в виду?

-- Ср янв 26, 2011 17:15:30 --

И как определяется останов у ваших программ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 17:26 


19/11/08
347
migmit в сообщении #404875 писал(а):
Теперь попробуйте понять, что вызов
Код:
$ ./diag.sh ./diag.sh

не может ни завершиться, ни не завершиться. Противоречие.

Вот пример , с использованием ссылки на программу в некой базе данных (имя файла './diag.sh'- это ссылка).
В код программы занесена эта конкретная ссылка, причем, если программу переименовать (не меняя кода) то ссылка окажется некорректной и все перестанет работать.
Следовательно, для работоспособности программы необходимо, чтоб база данных не меняла больше своей структуры , не переносила файлы на новое место (т.е. их не переименовывала).
Но ведь эта ссылка на алгоритм - это внутренний номер (индекс) базы данных - он должен создаваться базой данных в момент записи в неё кода программы!
Тогда вопрос: Как кто-то мог знать, в какое место будет занесен алгоритм (как пронумерованы алгоритмы в базе), в то время, когда код программы еще не был занесен в базу?
Вы заранее знали, как будет называться ваш алгоритм и в какое место он будет занесен ... но тогда , механизм занесения кода в базу, является частью алгоритма (поскольку в алгоритме это было учтено при его написании), следовательно, ваша программа анализатор анализирует не весь код программы - под анализ не попал алгоритм занесения кодов в базу данных.
Для выполнения всех условий, ваша программа должна также проанализировать и механизм занесения кода в базу (а вдруг операция сохранения на диск окончится ошибкой, имя файла неиспользуемое или ещё что-то)- т.е. в качестве параметра следует передавать весь код "операционной системы" с указанием какой алгоритм будет использоваться для занесения и куда он потребует себя занести, а этого сделано не было, следовательно ваш пример - некорректен.

-- Ср янв 26, 2011 18:36:37 --

Xaositect в сообщении #404888 писал(а):
Либо я Вас не понял, либо в такой модели даже возведение в квадрат нельзя написать.
Нельзя ли подробнее?

-- Ср янв 26, 2011 17:15:04 --

Или Вы комбинаторы имеете в виду?

-- Ср янв 26, 2011 17:15:30 --

И как определяется останов у ваших программ?

Возведение в квадрат входит в часть встроенных алгоритмов, например SQRT2 ('SQRT' - алгоритм возведения в квадрат, '2'-параметр)
Останов - когда окончится строка.
Если надо, можно ввести разделительные знаки, но ,можно подразумевать, что они там есть.

Программу анализатор можно обозначить одной буквой A или P и предположить, что она корректно работает (возможно внутри нее и есть циклы, но нам это не интересно, в данном случае - это черный ящик).
Тогда, чтоб передать в наш анализатор самого себя, придется что-то приписать (самого себя справа от буквы A), получим:
'AAX'
Но мы же передавали 'AX', а получили совсем другое: 'AAX'
Снова передадим в анализатор? Получим:
'AAAX'
И так далее.
Сразу ,наглядно, всплываю все ньюансы передачи функции самой себя.
Это уже получается другая функция!
Как сказали классики:"В одну реку невозможно войти дважды".

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10413
Андрей АK в сообщении #404863 писал(а):
Это - определение через отрицание.
Такое определение некорректно и приводит к парадоксам (как например "множество всех множеств").
Чем Вам не нравятся определения через отрицание? Отнюдь не обязательно они должны приводить к парадоксам. Конкретно, против чего Вы возражаете? Против того, что $\sqrt{2}$ - "число"? Или против того, что $\sqrt{2}$ не является "рациональным числом"? если Вы принимаете и то, и другое, значит Вы должны признать, что $\sqrt{2}$ является "не рациональным числом".

Андрей АK в сообщении #404863 писал(а):
но у A первый параметр - это исключительно код алгоритма.
А вот второй параметр - это "код алгоритма+параметры к нему".
Передавая в качестве обеих параметров одно и то же вы нарушите требования к типу передаваемого значения.
Вообще-то, как я понял, второй параметр к программе $A$ - это параметр к алгоритму $M_x$ (без его кода).

В чём вообще проблема? Ещё можно как-то сомневаться в том, что алгоритму $M_x$ можно подавать на вход параметр $x$ (код самого алгоритма $M_x$), потому что алфавит, в котором кодируется алгоритм $M_x$, может содержать символы, которых нет в алфавите, со словами которого работает алгоритм $M_x$. Но ведь у программы $A$ нет такого ограничения! Она может работать со словами в объединённом алфавите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 17:50 


19/11/08
347
epros в сообщении #404907 писал(а):
В чём вообще проблема? Ещё можно как-то сомневаться в том, что алгоритму $M_x$ можно подавать на вход параметр $x$ (код самого алгоритма $M_x$), потому что алфавит, в котором кодируется алгоритм $M_x$, может содержать символы, которых нет в алфавите, со словами которого работает алгоритм $M_x$. Но ведь у программы $A$ нет такого ограничения! Она может работать со словами в объединённом алфавите.

Еще раз повторяю:
Анализатору $A(x,y)$, для успешной работы надо код программы и параметры к коду программы.
Когда мы в анализатор $A(x,y)$ хотим передать самого себя, то вместо х можно передать просто $A$ - код программы, а вот в качестве у надо передавать 'код+параметры', т.е.:
$A(A,A(x,y))$ - причем мы сверху спускаем условие, что x- это A, а y - ,по прежнему, анализатор в виде кода + параметры, т.е. снова надо подставить вместо x -A, а вместо y:$A(A,A(x,y))$
Получим:
$A(A,A(A,A(x,y)))$
И так далее.
Т.е. мы сформулировали условие, которое невозможно реализовать практически.
(А всякие трюки с переименовыванием - это только уловка чтоб замаскировать софизм)

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли иррациональные и действительные числа?
Сообщение26.01.2011, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Андрей АK в сообщении #404895 писал(а):
Возведение в квадрат входит в часть встроенных алгоритмов, например SQRT2 ('SQRT' - алгоритм возведения в квадрат, '2'-параметр)
Останов - когда окончится строка.
Если надо, можно ввести разделительные знаки, но ,можно подразумевать, что они там есть.

Программу анализатор можно обозначить одной буквой A или P и предположить, что она корректно работает (возможно внутри нее и есть циклы, но нам это не интересно, в данном случае - это черный ящик).
Тогда, чтоб передать в наш анализатор самого себя, придется что-то приписать (самого себя справа от буквы A), получим:
'AAX'
Но мы же передавали 'AX', а получили совсем другое: 'AAX'
Снова передадим в анализатор? Получим:
'AAAX'
И так далее.
Сразу ,наглядно, всплываю все ньюансы передачи функции самой себя.
Это уже получается другая функция!
Как сказали классики:"В одну реку невозможно войти дважды".
Так, а если я хочу в программу $P$ передать строку $AX$ два раза, надо написать $PAXAX$? а как отличить это от программы, которой передается строки $A$, $X$ и потом в результат еще две строки $A$ $X$?
Я предлагаю скобки ставить, согласны: $P(AX)(AX)$?

Я сейчас формально опишу модель, а Вы скажете, Вы это имели в виду или нет:
Программа представляет собой последовательность символов из некоторого алфавита, содержащего скобки. Некоторым нескобочным символам приписаны функции, переводящие наборы строк в строки, напр. мы можем приписать символу $S$ функцию от одной строки, которая работает так: если аргумент является числом, то она выдает квадрат числа, если нет - то некоторый выделенный символ $*$. Арностью функции назовем количество ее аргументов.
Работа программы происходит следующим образом: Рассматривается первый символ строки. Если ему не приписана никакая функция, то происходит останов машины, и строка считается результатом. Иначе приписанная первому символу функция, имеющая некоторую арность $k$ применяется к записанным после этого $k$ строкам и символ с последующими $k$ строками заменяется на результат. Например, $S2$ преобразуется в $4$, и после этого машина останавливается и результатом будет $4$. Для того, чтобы передать многобуквенную строку, нужно использовать скобки: $S(11)$ -> $121$.

Согласны?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 136 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group