2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Инкремент подбором параметров.
Сообщение24.01.2011, 15:59 
Заслуженный участник


26/07/09
1559
Алматы
Здравствуйте. Снова надеюсь на помощь участников форума, и вот по какому вопросу. Имеется набор $n$ целочисленных (натуральных) параметров $k_1,\ k_2,\ \ldots,\ k_n$, контролирующих два выражения -- первое довольно простое, $$\frac{2^{k_n}}{3^{n-k_n}},\eqno(1)$$ а второе посложнее, $$\sum_{i=1}^{n-1}\frac{2^{k_i}}{3^{i-k_i}}.\eqno(2)$$ Как видите, первое выражения я вообще зря написал, его можно было бы включить в сумму $(2)$, просто так будет проще сформулировать и задать интересующий меня вопрос. :) На параметры наложены ограничения, а именно, $k_1$ должен быть нулем или единицей, сама же последовательность параметров должна монотонно возрастать, т.е. $k_i\leqslant k_{i+1}$ (ещё раз подчеркну, что числа натуральные). Ещё существенный момент, мне не нужно, чтобы тройка из знаменателя всплывала в числитель, поэтому для любого $i$ должно выполняться $k_i\leqslant i$.

Собственно, требуется установить возможность так модифицировать набор параметров $\{k_i\}_{i=1}^n$ (количество параметров, то есть число $n$, также можно свободно изменять) с сохранением ограничений, чтобы каждое из выражений $(1)$ и $(2)$ увеличилось ровно на единицу. Причем конструктивный алгоритм изменения параметров совершенно не важен, важно само существование решения.

Есть ли какие-нибудь идеи? Спасибо.

P.S.: Может быть какую-нибудь систему уравнений составить и показать, что она разрешима... Не знаю... Вообще, если я что-то нечетко написал, переспрашивайте, я буду уточнять. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Инкремент подбором параметров.
Сообщение24.01.2011, 16:13 


22/09/09
374
Circiter
Если $k_1=1$, то из ваших условий $k_i=i$ - в итоге получите геометрический ряд. Если $k_1=0$, то элементы последовательности $k$ растут на 1, но в одном месте может быть скачек на 2 - опять же геометрический ряд, только уже два штуки их может быть.
А дальше у вас два управления, изменять $n$ и перемещение скачка в две единицы (и сюда же изменение первого параметра можно отнести, фактически выбор куда можно втиснуть скачек в единицу).

 Профиль  
                  
 
 Re: Инкремент подбором параметров.
Сообщение24.01.2011, 18:02 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Что-то я вообще не могу выражение (1) увеличить на 1.
$\dfrac{2^a}{3^b}+1=\dfrac{2^c}{3^d}$
Ну хорошо, один раз можно
$a=b=d=0, c=1$.
А что еще может быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Инкремент подбором параметров.
Сообщение24.01.2011, 18:44 
Заслуженный участник


26/07/09
1559
Алматы
Да уж... Ну хорошо, давайте немного "обобщим". Пусть изменение первого выражение будет обозначено $\triangle A$, а второго -- $\triangle B$. Исходный вопрос соответствовал случаю $\triangle A=\triangle B=1$. А вообще нужно, чтобы $6\triangle A-\triangle B=5$. :) Может быть в этом случае что-нибудь удастся придумать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Инкремент подбором параметров.
Сообщение25.01.2011, 12:13 


22/09/09
374
Circiter
Сверните просто сумму геометрической прогрессии в ваших формулах, получите формулу от двух параметров (один n, другой элемент где происходит сдвиг на 1). А дальше посмотрите, можно ли на 1 увеличить, меняя параметры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инкремент подбором параметров.
Сообщение28.01.2011, 15:39 
Заслуженный участник


26/07/09
1559
Алматы
2Shtirlic
Цитата:
Если k_1=1, то из ваших условий k_i=1

Мне кажется, что это ошибочный вывод, нет? Что мешает существовать, например, последовательности 1, 1, 1, 2, 2, ...? Вроде бы ни одно ограничение не нарушено (ни $k_i\leqslant k_{i+1}$, ни $k_i\leqslant i$). Соответсвенно, идея с геометрическими рядами как-то ускользает...

Можно немного переписать сумму $(2)$: $$\frac{2^{k_1}3^{k_1}}{3^1}+\frac{2^{k_2}3^{k_2}}{3^2}+\cdots+\frac{2^{k_{n-1}}3^{k_{n-1}}}{3^{n-1}}.$$ При этом последовательность значений параметров формируется так: первый элемент равен нулю или единице, а каждый последующий либо увеличивается на единицу, либо не изменяется.

Здорово бы было свернуть эту сумму в явное выражение, но что-то не получается.

Да ещё и это досадное недоразумение с величиной приращений значений формул $(1)$ и $(2)$... Как я уже писал в предыдущем сообщении, не обязательно чтобы оба выражения изменились на единицу, главное чтобы разница между ушестиренным приращением первого и приращением второго была равна пятерке... Вроде как можно посмотреть какие именно пары чисел удовлетворяют такому требованию и сопоставить это с возможным поведением выражений вида $(1)$ и $(2)$, но не совсем понятно как это можно сделать... Может быть тупо поперебирать варианты на компьютере и попробовать угадать закономерность? :) Уже пробовал -- не угадывается.

P.S.: Надеюсь моя задачка не имеет никакого отношения к неразрешимым диофантовым уравнениям. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Инкремент подбором параметров.
Сообщение28.01.2011, 15:53 


22/09/09
374
Circiter в сообщении #405855 писал(а):
2Shtirlic
Цитата:
Если k_1=1, то из ваших условий k_i=1

Мне кажется, что это ошибочный вывод, нет? Что мешает существовать, например, последовательности 1, 1, 1, 2, 2, ...? Вроде бы ни одно ограничение не нарушено (ни $k_i\leqslant k_{i+1}$, ни $k_i\leqslant i$). Соответсвенно, идея с геометрическими рядами как-то ускользает...


Ну да. Я текст то прочитал, а формулу упустил из виду. Монотонно возрастающий ряд это когда $k_{i-1}<k_i$. А вы подразумеваете неубывающий ряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инкремент подбором параметров.
Сообщение28.01.2011, 16:21 
Заслуженный участник


26/07/09
1559
Алматы
2Shtirlic
Цитата:
Монотонно возрастающий ряд это когда $k_{i-1}<k_i$

Ну это уже тогда строго (монотонно) возрастающий ряд (последовательность) будет. Под монотонностью как-раз и подразумевают нестрогое неравенство в последовательности.

Надеюсь, что вы ещё идей подкините. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Инкремент подбором параметров.
Сообщение28.01.2011, 17:08 


22/09/09
374
Circiter в сообщении #405879 писал(а):
2Shtirlic
Цитата:
Монотонно возрастающий ряд это когда $k_{i-1}<k_i$

Ну это уже тогда строго (монотонно) возрастающий ряд (последовательность) будет. Под монотонностью как-раз и подразумевают нестрогое неравенство в последовательности.

Надеюсь, что вы ещё идей подкините. :)

Может я уже и запамятовал.
Могу предложить играться с самими изменениями. Например у вас есть ряд (я про второе выражение). Вы кидаете на любой элемент из $k$ единицу, что может повлечь за собой изменение ряда последующих элементов. Ясно, что изменение - это будут измененные элементы ряда минус эти же элементы до изменения. При изменении элемента его знаменатель уменьшился в 3 раза, а числитель увеличился в 2 раза (то есть элемент увеличился в 6 раз). Тогда ваше изменение равно 5 умноженное на элементы ряда соответствующие измененным $k_i$.
Надеюсь понятно, что я написал!=)
Дальше хочу спросить. Можно ли на какой либо итерации уменьшать элементы $k$ или подразумевается только рост (соответственно и выражений 1 и 2)?
Кстати при росте $k_n$ на единицу, изменение выражения 1 так же равно 5 умноженное на это выражение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инкремент подбором параметров.
Сообщение28.01.2011, 19:05 
Заслуженный участник


26/07/09
1559
Алматы
2Shtirlic
Цитата:
Тогда ваше изменение равно 5 умноженное на элементы ряда соответствующие измененным $k_i$

Хм, интересно. Попробую в этом направлении подумать, спасибо.

Цитата:
Можно ли на какой либо итерации уменьшать элементы

Нет конечно.

Цитата:
или подразумевается только рост (соответственно и выражений 1 и 2)?

А вот это уже другой вопрос. Например, как я говорил ранее, $n$ тоже можно изменять, и если его уменьшить, то и значения выражений могут уменьшиться. Причем, уменьшение значений выражений $(1)$ и $(2)$ может и при постоянном $n$ происходить.

Кстати, я вот сейчас балуюсь выписывая на бумажку пары старых и новых наборов параметров, удовлетворяющих ограничению на приращения. Например, старый набор: 0, 1, 2, 3, 4 (пять параметров); новый набор: 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6 (восемь параметров). :)

И все-таки мне очень интересно, нет ли в этой задачке какого-нибудь фундаментального препятствия для доказательства формального существования решения (родственного проблемам алгоритмической неразрешимости, к примеру, как в теории диофантовых уравнений)?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group