Аппроксимация

[ewert]

Шимпанзе в сообщении #397811 писал(а):

Сразу видно, что Вы такой же экспериментатор как я химик.

Несолидно. Я вовсе не против того, чтобы мне предъявляли претензии; но уж коли предъявляете -- то конкретно, а не цитируйте всю БСЭ, от первого до последнего тома.

[Maslov]

Шимпанзе в сообщении #397811 писал(а):

Вы меня извините, четыре экспериментальные точки при двух неизвестных параметрах (!?)- считайте что никакого эксперимента вообще не было. Удивительно, что какой -то результат вообще есть....

Так лучше?

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  
6.  
7.  
8.  
9.  
10.  
11.  
12.  
13.  
14.  
15.  
16.  
17.  
18.  
19.  
20.  
21.  
22.  
23.  
24.  
25.  
26.  
27.  
28.  
29.  
30.  
31.  
32.  
33.  
34.  
35.  
36.  
37.  
38.  
39.  
40.  
41.  
42.  
43.  
44.  
45.  
46.  
47.  
48.  
49.  
50.  
51.  

Теперь точек достаточно, и результат аппроксимации методом "разбивки суммы на две задачи" окажется существенно ближе к "экспериментальным" данным?

[Шимпанзе]

ewert в сообщении #397826 писал(а):

Шимпанзе в сообщении #397811 писал(а):

Сразу видно, что Вы такой же экспериментатор как я химик.

Несолидно. Я вовсе не против того, чтобы мне предъявляли претензии; но уж коли предъявляете -- то конкретно, а не цитируйте всю БСЭ, от первого до последнего тома.

Вы это о чем , какие еще претензии? Просто я уточнил, что Вы не экспериментатор ( за версту видно), а я не химик. Что тут обидного?

-- Пн янв 10, 2011 23:32:02 --

Maslov в сообщении #397844 писал(а):

Теперь точек достаточно, и результат аппроксимации методом "разбивки суммы на две задачи" окажется существенно ближе к "экспериментальным" данным?

Вы хотите , что бы я проверил?

[Ubuntu_linux]

Maslov в сообщении #397844 писал(а):

Шимпанзе в сообщении #397811 писал(а):

Вы меня извините, четыре экспериментальные точки при двух неизвестных параметрах (!?)- считайте что никакого эксперимента вообще не было. Удивительно, что какой -то результат вообще есть....

Так лучше?

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  
6.  
7.  
8.  
9.  
10.  
11.  
12.  
13.  
14.  
15.  
16.  
17.  
18.  
19.  
20.  
21.  
22.  
23.  
24.  
25.  
26.  
27.  
28.  
29.  
30.  
31.  
32.  
33.  
34.  
35.  
36.  
37.  
38.  
39.  
40.  
41.  
42.  
43.  
44.  
45.  
46.  
47.  
48.  
49.  
50.  
51.  

Теперь точек достаточно, и результат аппроксимации методом "разбивки суммы на две задачи" окажется существенно ближе к "экспериментальным" данным?

Все таки я не получаю необходимого результата, но я знаю в чем загвоздка.

Давайте запишем суму квадратов отклонений:

$L=\sum {(y_i -y)^2}$
делаю замену $y=y_1+y_2$
следовательно:
$L=\sum {(y_i -y_1-y_2)^2}$
После раскрытия квадрата и группировки я получаю :
$L=\sum{(y_i-y_1)^2}+\sum{(y_i-y_2)^2}+2\sum{y_1 y_2}-\sum{y_i ^2}$
Последний член у выражении константа и когда я буду брать проиводные по параметрам, от которых зависят $y_1,y_2$, то последний член будут равен 0. Таким образом про него можно забить.
Первый и второй члены отвечают за независемую апроксимацию по $y_1,y_2$ соответственно. (Что я и делал!). А третий член ето миксер между зависимостями $y_1,y_2$ но как с ним бить я не знаю!, может кто то посоветует?

[Ubuntu_linux]

Есть другой вариант алгоритма действий, а именно:
0) Есть зависимость вида $y=A\exp(ax)\sh(bx)$ .
1)Сначала буду думать что $sh(bx)$ константа и соединю с $A$ . В результате буду иметь стандартную зависимость $y=A' \exp(ax)$ , которую быстренько решаю.
2) Вспомню что A' не константа, а зависет от $x$ , тогда $y=A_0 \sh(bx)\exp(ax)$, но теперь я знаю коеф. в экспоненте, то есть она мне теперь не мешает.
3) Заключительный шаг, свожу зависимость к линейной $ arcsh({\frac y {A_0 \exp(ax)}})= bx$
4)Нахожу коеф. $b$.
Что-то в этом роде.

[ewert]

Это не будет оптимальным решением: параметры $A$, $a$ и $b$ не независимы.

Впрочем, можете попробовать повторить свои шаги многократно -- авось процесс и сойдётся (это называется "метод координатного спуска"). Сходиться он будет (если будет), правда, долго, но для вычислений не в режиме реального времени это не имеет значения.

Ubuntu_linux в сообщении #397942 писал(а):

После раскрытия квадрата и группировки я получаю :

Напрасно. Все эти игры значками вполне бесполезны, всё равно придётся минимизировать численно. На то нам машина и дана, она железная, ей безразлично, какие формулы ей подсовывают, для нас же чем проще и исходнее, тем лучше.

Шимпанзе в сообщении #397868 писал(а):

Что тут обидного?

Ничего обидного, просто Ваша предыдущая реплика была бессодержательна.

[Ubuntu_linux]

ewert в сообщении #398002 писал(а):

Впрочем, можете попробовать повторить свои шаги многократно -- авось процесс и сойдётся (это называется "метод координатного спуска"). Сходиться он будет (если будет), правда, долго, но для вычислений не в режиме реального времени это не имеет значения.

Ubuntu_linux в сообщении #397942 писал(а):

После раскрытия квадрата и группировки я получаю :

Напрасно. Все эти игры значками вполне бесполезны, всё равно придётся минимизировать численно. На то нам машина и дана, она железная, ей безразлично, какие формулы ей подсовывают, для нас же чем проще и исходнее, тем лучше.

Я хотел увидеть, почему в меня не получается аппроксимировать отдельными кривыми, и я понял почему. Ок, теперь чтоб узнать приблизительное значения параметров, я сделаю как выше, а потом буду чисельно подбирать новые параметры.

[ewert]

Ubuntu_linux в сообщении #398020 писал(а):

а потом буду чисельно подбирать новые параметры.

Не "чисельно подбирать", а итерировать. По найденному приближению для $b$ заново пересчитываем $A$ и $a$, по вновь полученным -- снова пересчитываем $b$, затем -- снова $A$ и $a$ и т.д. до сходимости.

Да, и у Вас разные точки скорее всего измерены с разной точностью, поэтому лучше использовать весовой вариант МНК.

[Ubuntu_linux]

Да, чисельго получается....
Вот скриншот моей программы.

[Klad33]

Я давно разработал свою систему аппроксимации любых функций. Базируется на методе Монте-Карло. Вот текст для Вашей задачи в Yabasic (дистрибутив легко скачать с инета). Текст настолько прост, что алгоритм уловите. Результат действительно сходится к единицам, хотя начальные k1 и k2 взял 0.1 . Прога отлично работает, если верно угаданы знаки нужных параметров.

dim y(10),x(10),f(10)
z=.01
y(1)=2:y(2)=5:y(3)=13:y(4)=35
x(1)=0:x(2)=1:x(3)=2:x(4)=3
for i=1 to 4
print i,x(i),y(i)
next i
k10=.1:k20=.1
s1=10^100:nn=1000000
for j=1 to nn
k1=k10*(1+z*(ran()-.5))
k2=k20*(1+z*(ran()-.5))
s=0
for i=1 to 4
x=x(i)
f(i)=2^(k1*x)+3^(k2*x)
s=s+(y(i)-f(i))^2
next i
if s<=s1 then
print k1,k2,s
s1=s
k10=k1:k20=k2
fi
next j

Но что удивительно. Если взять начальные параметры k10=10 и k20=10 то найдется тоже великолепная пара коэффициентов:
k1=1.58496
k2=0.630934

Проверьте - числа с огромной точностью ложатся на эксперименты.

[Klad33]

Стал анализировать, и пришел к выводу: второе решение получается если решать при довольно большом x (например, x=20) уравнение:

$2^{20}+3^{20}=2^{k_1 \cdot 20}+3^{\frac{20}{k_1}}$

Отсюда можно найти численно $k_1=1.584962501$ ; $k_2=\frac{1}{k_1}=0.6309297535$

Построение графиков показало, что кривые полностью совпадают и эти два решения абсолютно одинаковы.

А строго теоретически так:

$2^{X}+3^{X}=2^{\frac{ln(3)}{ln(2)} X}+3^{\frac{ln(2)}{ln(3)} X}$

Такая вот красивая математика.
Спасибо за задачу!