2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Изоморфизмы...
Сообщение04.01.2011, 23:46 


02/01/11
69
Доброго времени суток)) я всё пытаюсь познать общую алгебру, и вот возник такой вопрос... прочитав немного литературы об изоморфизмах, попыталась задачу.... но зашла в тупик....
доказать что алгебра (Q/{0}, *) не изоморфна (Q, +), где Q/{0} - это рациональные числа без 0
моё решение:
возьмём некое а не равное 0.
возьмём некую функцию h(a)=a;
тогда по определению гомоморфизма h(a+b)=h(a)*h(b)
h(a+0)=h(a)=a; h(a+0)=h(a)*h(0)=a*h(0)=a; следовательно h(0)=1;
теперь рассмотрим следующее:
h(-a+a)=h(-a)*h(a)=h(-a)*a
h(-a+a)=h(0)=1 и вот тут не знаю, что сказать дальше...)
у меня вот такие мысли, что нужно найти такое свойство в одной алгебре, которое не выполняется в другой, или показать, что элементам из одной алгебры сопоставляется 2 элемента из другой, что неверно по определению изоморфизма...

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение04.01.2011, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
flame19 в сообщении #395369 писал(а):
группа (Q/{0}, *) не изоморфна (Q, +), где Q/{0}

есть такое свойство -- "быть кратным" (по научному -- делимость в группе)

во второй группе любое является кратным $r=2\frac{r}{2}$, а в первой -- нет $2\ne r^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение05.01.2011, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21080
Уфа

(Оффтоп)

А можно ещё показать, что $\langle \mathbb Q \setminus \{0\}; \cdot \rangle$ изоморфна $\langle \mathbb Q; + \rangle \color{blue}{ \times \mathbb Z_2 }$, только не знаю, чем это поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение05.01.2011, 00:23 


02/01/11
69
ааа..... понятно)) спасибо!!!))
а можно ещё спросить так же как доказать неизоморфность алгебр $(Q, x^2 +y^2) $и $(Q, x^3+y^3+1)$????? я так подразумеваю,что здесь будет какое-то свойство, связанное с тем, что в первой всегда получаются числа больше либо равные 0, а во второй все рациональные...
хм.... хотя сейчас подумала... может быть кратность здесь тоже подойдёт??? $а^2+a^2$ кратно 2, а $a^3+a^3+1$ не кратно 2... так можно???

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение05.01.2011, 00:40 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Правильно, соответствие взаимно однозначно только для положительных рациональных чисел, для отрицательных - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение05.01.2011, 00:58 


02/01/11
69
JMH в сообщении #395394 писал(а):
Правильно, соответствие взаимно однозначно только для положительных рациональных чисел, для отрицательных - нет.


а можно ли это доказать как-нибудь формально??? и что именно за соответствие, не очень понятно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение05.01.2011, 01:16 
Заслуженный участник


27/06/08
3104
Волгоград
flame19 в сообщении #395369 писал(а):
Доброго времени суток)) я всё пытаюсь познать общую алгебру, и вот возник такой вопрос... прочитав немного литературы об изоморфизмах, попыталась задачу.... но зашла в тупик....
доказать что алгебра (Q/{0}, *) не изоморфна (Q, +), где Q/{0} - это рациональные числа без 0
моё решение:
возьмём некое а не равное 0.
возьмём некую функцию h(a)=a;
Что за функция? Если это искомый изоморфизм, то почему ненулевой элемент a должен переходить в себя?!

Наиболее просто рассмотреть элементы порядка 2. В первой группе они (точнее, он) есть, а во второй все элементы, за исключением нейтрального, имеют бесконечный порядок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение05.01.2011, 02:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
arseniiv
докажите

-- Ср янв 05, 2011 02:08:52 --

arseniiv


VAL в сообщении #395406 писал(а):
Наиболее просто рассмотреть элементы порядка 2. В первой группе они (точнее, он) есть, а во второй все элементы, за исключением нейтрального, имеют бесконечный порядок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение05.01.2011, 02:09 
Аватара пользователя


25/02/10
687
flame19 в сообщении #395402 писал(а):
и что именно за соответствие, не очень понятно...

Что такое изоморфизм алгебраических структур? Это такое взаимно однозначное соответствие ...(посмотрите определение). Вот это соответствие и имеется ввиду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение05.01.2011, 13:29 


02/01/11
69
VAL в сообщении #395406 писал(а):
flame19 в сообщении #395369 писал(а):
Доброго времени суток)) я всё пытаюсь познать общую алгебру, и вот возник такой вопрос... прочитав немного литературы об изоморфизмах, попыталась задачу.... но зашла в тупик....
доказать что алгебра (Q/{0}, *) не изоморфна (Q, +), где Q/{0} - это рациональные числа без 0
моё решение:
возьмём некое а не равное 0.
возьмём некую функцию h(a)=a;
Что за функция? Если это искомый изоморфизм, то почему ненулевой элемент a должен переходить в себя?!

Наиболее просто рассмотреть элементы порядка 2. В первой группе они (точнее, он) есть, а во второй все элементы, за исключением нейтрального, имеют бесконечный порядок.


да.... h - это изоморфизм... h(a)=a - решила так, чтобы было от чего отталкиваться.... вобще не очень понятно как доказывать подобные задачи, для каждой - какое-то своё решение... нет ли какого-то алгоритма для доказательства в общем случае??

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение05.01.2011, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21080
Уфа
paha в сообщении #395431 писал(а):
arseniiv
докажите
Ой, это же только для $\mathbb R$! :oops: Тогда бы был изоморфизм $f(x) = \left(\ln |x|;\, \frac 12 (1 - \operatorname{sgn} x) \right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение05.01.2011, 14:54 


02/01/11
69
эм... а всё же свойство кратности в этом случае не подойдёт????

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение05.01.2011, 16:36 
Заслуженный участник


27/06/08
3104
Волгоград
flame19 в сообщении #395631 писал(а):
эм... а всё же свойство кратности в этом случае не подойдёт????
А почему нет?
Уравнение $x\times x=a$ разрешимо в группе $\left<\matbb{Q}\backslash\{0\}, \cdot \right>$ не для любых $a$, а в группе $\left<\matbb{Q}, + \right>$ - для любых.

Но с элементом порядка 2, IMHO, еще проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение05.01.2011, 21:10 


02/01/11
69
нет, я имела ввиду свойство кратности для алгебр $(Q, x^2 +y^2) $и $(Q, x^3+y^3+1)$....

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение06.01.2011, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
flame19 в сообщении #395783 писал(а):
алгебр $(Q, x^2 +y^2) $и $(Q, x^3+y^3+1)$...

это коммутативные ассоциативные алгебры с двумя образующими $x,y$ для которых $x^2+y^2=0$ в одной и $x^3+y^3+1=0$ в другой?
Или буква $Q$ что-то значит?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group