2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение06.01.2011, 00:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18213
Уфа
Мне подумалось, что это так коротко (и нехорошо: вот уже путаница) обозначены операции.

-- Чт янв 06, 2011 03:16:19 --

Т. е. «$(Q, x^2 + y^2)$» надо понимать как «$(Q, \circ) \text{, где } x \circ y = x^2 + y^2$»

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение06.01.2011, 00:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
arseniiv в сообщении #395847 писал(а):
Т. е. «$(Q, x^2 + y^2)$» надо понимать как «$(Q, \circ) \text{, где } x \circ y = x^2 + y^2$»

а $Q$ что такое? и что за квадраты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение06.01.2011, 02:49 
Заслуженный участник


27/06/08
2978
Волгоград
paha в сообщении #395845 писал(а):
flame19 в сообщении #395783 писал(а):
алгебр $(Q, x^2 +y^2) $и $(Q, x^3+y^3+1)$...

это коммутативные ассоциативные алгебры с двумя образующими $x,y$ для которых $x^2+y^2=0$ в одной и $x^3+y^3+1=0$ в другой?
Или буква $Q$ что-то значит?
А я по-другому понял:
В каждой алгебре (с носителем $\mathbb{Q}$) по одной бинарной операции.
В одной бинарная операция задана по правилу $x\times y = x^2+y^2$, а в другой - $x\star y = x^3+y^3+1$.
При такой интерпретации отсутствие изоморфизма доказывается просто.
Но я не уверен, что имелось в виду именно это.
Ждем ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение06.01.2011, 13:07 


02/01/11
69
paha в сообщении #395845 писал(а):
flame19 в сообщении #395783 писал(а):
алгебр $(Q, x^2 +y^2) $и $(Q, x^3+y^3+1)$...

это коммутативные ассоциативные алгебры с двумя образующими $x,y$ для которых $x^2+y^2=0$ в одной и $x^3+y^3+1=0$ в другой?
Или буква $Q$ что-то значит?

Q значит, что множество в алгебре - это множество рациональных чисел. $ x^2 +y^2 $и $ x^3+y^3+1$ - это определение операций в алгебрах (обозначим её f) . Т.е. f(a,b)=$ a^2 +b^2 $ (в первой алгебре).

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение06.01.2011, 14:40 
Заслуженный участник


27/06/08
2978
Волгоград
flame19 в сообщении #395912 писал(а):
paha в сообщении #395845 писал(а):
flame19 в сообщении #395783 писал(а):
алгебр $(Q, x^2 +y^2) $и $(Q, x^3+y^3+1)$...

это коммутативные ассоциативные алгебры с двумя образующими $x,y$ для которых $x^2+y^2=0$ в одной и $x^3+y^3+1=0$ в другой?
Или буква $Q$ что-то значит?

Q значит, что множество в алгебре - это множество рациональных чисел. $ x^2 +y^2 $и $ x^3+y^3+1$ - это определение операций в алгебрах (обозначим её f) . Т.е. f(a,b)=$ a^2 +b^2 $ (в первой алгебре).
Ура! Я победил! :D

Рассмотрите в каждой из алгебр уравнение $a \star x = b$. Во второй алгебре при $b=1$ это уравнение имеет единственное решение при любом $a$. А в первой алгебре такого $b$ нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение06.01.2011, 21:57 


02/01/11
69
Цитата:
Рассмотрите в каждой из алгебр уравнение $a \star x = b$. Во второй алгебре при $b=1$ это уравнение имеет единственное решение при любом $a$. А в первой алгебре такого $b$ нет.


чуть-чуть не поняла... идея в том, что когда мы извлекаем корень, то возможно 2 ответа (положительный и отрицательный), а если ищем кубический корень, то ответ всегда один??? но тогда почему берём b=1? ведь подойдёт любое.... или я всё-таки не так поняла??

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение06.01.2011, 22:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
flame19
Вы бы сформулировали вопрос... а? еще раз и полностью

Множество рациональных чисел стандартно обозначается значком \mathbb{Q}

-- Чт янв 06, 2011 22:16:14 --

flame19 в сообщении #396104 писал(а):
чуть-чуть не поняла... идея в том, что когда мы извлекаем корень, то возможно 2 ответа (положительный и отрицательный)

или никакого... вотв $\mathbb{Q}$ нет корня из 2

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение07.01.2011, 00:35 
Заслуженный участник


27/06/08
2978
Волгоград
flame19 в сообщении #396104 писал(а):
Цитата:
Рассмотрите в каждой из алгебр уравнение $a \star x = b$. Во второй алгебре при $b=1$ это уравнение имеет единственное решение при любом $a$. А в первой алгебре такого $b$ нет.


чуть-чуть не поняла... идея в том, что когда мы извлекаем корень, то возможно 2 ответа (положительный и отрицательный), а если ищем кубический корень, то ответ всегда один??? но тогда почему берём b=1? ведь подойдёт любое.... или я всё-таки не так поняла??
Можно и на количестве решений сыграть. Но можно и по-другому. Во второй алгебре есть такой элемент $b$, что уравнение $a \star x = b$ будет разрешимо при любом $a$. А в первой - такого элемента нет. Этого достаточно для того чтобы утверждать, что алгебры не изоморфны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение07.01.2011, 01:44 


02/01/11
69
paha
ну вот у нас множество рациональных чисел обозначается как Q... а вопрос доказать, что алгебры не изоморфны.

VAL
всё-таки я не поняла, как Вы пришли к такому выводу, насчёт существования элемента...
ведь мы решаем уравнение относительно x, верно? тогда если мы возьмём некое b, и выразим x, то получим что $x=\sqrt{b-a^2}$. во второй алгебре получим: $x=\sqrt[1/3]{b-1-y^3}$... не могу понять, как придти к выводу что в первом случае уравнение не разрешимо, а во втором разрешимо при неком b...

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение07.01.2011, 08:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
flame19 в сообщении #396158 писал(а):
ну вот у нас множество рациональных чисел обозначается как Q

Неужели трудно написать красиво \mathbb{Q} -- получится $\mathbb{Q}$!

Самый простой способ: предположим, что есть изоморфизм $f$, тогда $x^2+y^2=(f(x))^3+(f(y))^3+1$, в частности $(f(x))^3=x^2-1/2$. Что невозможно, т.к. образ $f$ не совпадает с $\mathbb{Q}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение07.01.2011, 09:30 
Заслуженный участник


27/06/08
2978
Волгоград
paha в сообщении #396188 писал(а):
Самый простой способ: предположим, что есть изоморфизм $f$, тогда $x^2+y^2=(f(x))^3+(f(y))^3+1$, в частности $(f(x))^3=x^2-1/2$. Что невозможно, т.к. образ $f$ не совпадает с $\mathbb{Q}$
Вашего простого способа я не понял.
Вы считаете, что $f(0)=0$? Почему?

-- 07 янв 2011, 09:38 --

flame19 в сообщении #396158 писал(а):
всё-таки я не поняла, как Вы пришли к такому выводу, насчёт существования элемента...
ведь мы решаем уравнение относительно x, верно? тогда если мы возьмём некое b, и выразим x, то получим что $x=\sqrt{b-a^2}$.
Угу.
При этом не существует такого $b$, при котором корень будет извлекаться при любом $a$.
Цитата:
во второй алгебре получим: $x=\sqrt[1/3]{b-1-y^3}$... не могу понять, как придти к выводу что в первом случае уравнение не разрешимо, а во втором разрешимо при неком b...
А Вы возьмите $b=1$. Тогда при любом $a$ решением будет $x=-a$ (которое Вы зачем-то обозвали игреком). Я ведь уже писал какое именно $b$ надо взять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение07.01.2011, 10:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
VAL в сообщении #396194 писал(а):
Вы считаете, что $f(0)=0$? Почему?

во-первых: я этого не утверждал

-- Пт янв 07, 2011 10:25:07 --

во-вторых, flame19
у Вас просто множество с бинарной операцией, а никакая не алгебра (где есть структура линейного пространства и умножение, дистрибутивное относительно линейной структуры) ведь так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение07.01.2011, 10:43 
Заслуженный участник


27/06/08
2978
Волгоград
paha в сообщении #396198 писал(а):
VAL в сообщении #396194 писал(а):
Вы считаете, что $f(0)=0$? Почему?

во-первых: я этого не утверждал
Я тоже ничего не утверждал. Я же знак вопроса поставил и написал, что не понял.

Что-то в этой ветке никто никого не понимает... Надеюсь, хотя бы Вы поняли мое обоснование отсутствия изоморфизма? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение07.01.2011, 16:56 


02/01/11
69
VAL в сообщении #396194 писал(а):
paha в сообщении #396188 писал(а):
Самый простой способ: предположим, что есть изоморфизм $f$, тогда $x^2+y^2=(f(x))^3+(f(y))^3+1$, в частности $(f(x))^3=x^2-1/2$. Что невозможно, т.к. образ $f$ не совпадает с $\mathbb{Q}$
Вашего простого способа я не понял.
Вы считаете, что $f(0)=0$? Почему?

-- 07 янв 2011, 09:38 --

flame19 в сообщении #396158 писал(а):
всё-таки я не поняла, как Вы пришли к такому выводу, насчёт существования элемента...
ведь мы решаем уравнение относительно x, верно? тогда если мы возьмём некое b, и выразим x, то получим что $x=\sqrt{b-a^2}$.
Угу.
При этом не существует такого $b$, при котором корень будет извлекаться при любом $a$.
Цитата:
во второй алгебре получим: $x=\sqrt[1/3]{b-1-y^3}$... не могу понять, как придти к выводу что в первом случае уравнение не разрешимо, а во втором разрешимо при неком b...
А Вы возьмите $b=1$. Тогда при любом $a$ решением будет $x=-a$ (которое Вы зачем-то обозвали игреком). Я ведь уже писал какое именно $b$ надо взять.


спасибо) вроде бы как прояснилось.... а с y это опечатка вышла)

-- Пт янв 07, 2011 16:58:34 --

paha в сообщении #396198 писал(а):
VAL в сообщении #396194 писал(а):
Вы считаете, что $f(0)=0$? Почему?

во-первых: я этого не утверждал

-- Пт янв 07, 2011 10:25:07 --

во-вторых, flame19
у Вас просто множество с бинарной операцией, а никакая не алгебра (где есть структура линейного пространства и умножение, дистрибутивное относительно линейной структуры) ведь так?

ну нам определение алгебры давали как раз, как множество, на котором определены какие-то операции...

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизмы...
Сообщение07.01.2011, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
flame19 в сообщении #396321 писал(а):
ну нам определение алгебры давали как раз, как множество, на котором определены какие-то операции...

тогда уж говорите: бинарная алгебра -- сиречь множество с бинарной операцией со значениями в том же множестве

-- Пт янв 07, 2011 17:38:23 --

flame19 в сообщении #396321 писал(а):
вроде бы как прояснилось

Вас не затруднит привести здесь свой оформленный ответ вместе с условием?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group