Пересечение линейных оболочек

[caxap]

В линейном пространстве $\mathcal L$, $\dim\mathcal L=4$, две системы векторов $e=(e_1,e_2,e_3)$, $f=(f_1,f_2,f_3)$ заданы своими координатами в некотором базисе
Hack attempt!
Какова размерность пересечения $\operatorname{span} e$ и $\operatorname{span} f$?

Я не знаю, может в учебнике опечатались и на самом деле $e\neq f$. Если нет, то пересечением будет $\operatorname{span} e$, а его размерность равна рангу матрицы, составленной из $e_i$ (он не больше 3).

Предположим, что в наборщик был пьян и $e\neq f$. Я правильно понимаю, что тогда надо
а) найти $\dim\operatorname{span} e$, $\dim\operatorname{span} f$ как ранги соотв. матриц;
б) найти $\dim \operatorname{span}\{e,f\}$, тоже как ранг матрицы (он будет не больше 4)
в) $\dim (\operatorname{span} e\cap\operatorname{span} f)=\dim\operatorname{span}\{e,f\}-\dim\operatorname{span} e-\dim\operatorname{span} f$.

Так?

[Dan B-Yallay]

caxap писал(а):

в) $\dim (\operatorname{span} e\cap\operatorname{span} f)=\dim\operatorname{span}\{e,f\}-\dim\operatorname{span} e-\dim\operatorname{span} f$.

Так?

Есть шанс заполучить отрицательную размерность пересечения.

[Mathusic]

Dan B-Yallay в сообщении #393441 писал(а):

Есть шанс заполучить отрицательную размерность пересечения.

Просто формула Грассмана записана с ошибкой. Правильно $\dim (\operatorname{span} e\cap\operatorname{span} f)=\dim\operatorname{span} e+\dim\operatorname{span} f -\dim\operatorname{span}\{e,f\}.$
Тогда, да, так можно делать. И не только в случае, когда $e \ne f.$

[caxap]

Mathusic в сообщении #393445 писал(а):

Просто формула Грассмана записана с ошибкой.

Ой, пардон. Ошибку понял.

Mathusic в сообщении #393445 писал(а):

Тогда, да, так можно делать.

Ясно. Спасибо.