2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение21.09.2006, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Давайте устраним все недоразумения.
Конечно, подмножество метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, но речь я вел о другом: метрическое пространство со стандартной топологией всегда замкнуто в этой топологии (просто по определению топологического пространства), и это не зависит от его полноты.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.09.2006, 23:16 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Woland писал(а):
.Остаётся лишь замкнутость. Но она следует из того, что Х-полное. Или нет?По определению, пустое подмножество и все топологическое пространство всегда одновременно открыты и замкнуты, с полнотой это никак не связано.


Пространство называется полным если всякая фундаментальная последовательность
определённая в нём -имеет предел. Но тогда оно обязанно содержать все свои предельные
точки. То есть быть замкнутым. Или опять что то не так?[/quote]
Нет понятия "замкнутое пространство". Можно говорить только "замкнутое подмножество". Полное (относительно индуцированной равномерной структуры) подмножество полного пространства может не быть замкнутым в общем случае равномерных структур. Однако это верно для равномерных структур, связанных с метрикой в силу их сепарабельности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сжимающее отображение
Сообщение21.09.2006, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Руст писал(а):
В этом случае всё просто. А я показывал, что при определении сжимающего отображения, как $\forall x\not =y \ d(Fx,Fy)<d(x,y)$ существует контрпример для некомпактного пространства.


По этой причине сжимающие отображения и определяются так, как я написал, поскольку применять их приходится, как правило, в некомпактных (но полных) метрических пространствах.

Добавлено спустя 4 минуты 47 секунд:

Woland писал(а):
Я к сожалению знаю лишь определение компактного множества. Что такое компактное
пространство-мне не известно.
Одно из определений компактного множества таково:
Множество явл. компактным если оно является:
а) Замкнутым
б) Ограниченным


Это определение годится не для всех метрических пространств.

Пространство (или его подмножество) называется компактным, если из всякого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 02:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Пример


$f(\ x) = 
\left\{ \begin{array}{l}
1/2   , \ x \ge 0,\\
0 , \ x  <  0,
\end{array} \right.
$

Само по себе отображение не сжимающе, но $ f^2 (\ x)


или другой пример: $f(x) : [0, \infty) \rightarrow [0, \infty)

$f(\ x) = 
\left\{ \begin{array}{l}
\ x /2   , 0 \le \ x \le 2,\\ $
ПРОИЗВОЛЬНАЯ функция  $g(\ x) : (2, \infty) \rightarrow [0,2], 
\end{array} \right.
$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.09.2006, 07:33 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Для последнего отображения при g(x)=2x никакая итерация N не даст сжимающее отображение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.09.2006, 00:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Верно. Пусть лучше

$f(\ x) = 
\left\{ \begin{array}{l}
\ x /2   , 0 \le \ x \le 2,\\ $
ПРОИЗВОЛЬНАЯ функция  $g(\ x) : (2, \infty) \rightarrow [0,1], 
\end{array} \right.
$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group