2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение26.12.2010, 04:35 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
Задачка следующая:
есть одномерный электрон в поле электромагнитной волны $E(k_x,t) = e^{\frac{- k_x^2}{\Delta k}} \sin(wt)$
Здесь записана монохром волна во времени, реально это импульс с периодом огибающей много больше периода несущей $w$

Нужно найти наблюдаюмую (expectation value) скорости электрона $<v>$
я нашел получилась пропорционально $k^2$

Теперь вопрос в задачке:
смотря на $<v>$ скажите сможет ли этот электрон после прохождения волны поглотить энергию.

Проблема в том что у меня нет зависимости от времяни, потому как при нахождении $<v>$ фаза из волновых функции (в которой содержится зависимость от времяни) уходит (за щет комплексного сопряжения).

Тоесть что можно сказать если
$<v> \approx k^2 $

Может быть у Вас есть ссылки на решение подобных задачек ????

 Профиль  
                  
 
 Re: одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение26.12.2010, 17:33 
Заблокирован


08/01/09

1098
Санкт - Петербург
AlexNew
БКФ, т.1. М. 1975, стр. 130. "Заряженная частица в однородном переменном электрическом поле".

 Профиль  
                  
 
 Re: одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение26.12.2010, 19:38 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
BISHA писал(а):
БКФ, т.1. М. 1975, стр. 130. "Заряженная частица в однородном переменном электрическом поле".

Не понятно, это не Берклеевский курс физики ??? - если да это же школьный учебник! а Т1 это вообще механика, я посмотрел Т4 там введение в КМ для школьников...

Наверное надо было уточнить в теме эта задачка по Квантам.

 Профиль  
                  
 
 Re: одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение26.12.2010, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
AlexNew
Я правильно понимаю, что нужно решить уравнение Шредингера с потенциалом $U=q e^{\frac{- k_x^2}{\Delta k}} \sin(wt)$?
$e^{\frac{- k_x^2}{\Delta k}$ просто постоянная?
Я правильно понимаю, что Вы его решили?

-- Вс дек 26, 2010 22:52:21 --

Посмотрите параграф 94 -"Взаимодействие квантовой системы с электромагнитным излучением" в книге Давыдова "Квантовая механика".
Оно?

 Профиль  
                  
 
 Re: одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение27.12.2010, 03:30 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
Bulinator писал(а):
Я правильно понимаю, что нужно решить уравнение Шредингера с потенциалом $U=q e^{\frac{- k_x^2}{\Delta k}} \sin(wt)$?

я сначала тоже так думал, думал найти дискретные уровни в этом потенциале и затем решить временное уравнение и затем посчитать $<v>$
Но дано поле ЭМ волны, тоесть получается что потенциал будет $ x E $ или $ pA $
Например для случае $ x E $ сила на заряд действует в одну сторону! при этом имеет распределение по $x$ в форме Гаусса.

Хотя сейчас написал и задумался, через полупериод она уже действует в обратную сторону!
Но проблема в том что стационарное уравнение гамильтониана об этом не знает, электрон улетит!
Есть над чем подумать.

Старое решение следующее, я просто решил в моментном представлении, избавился от производной используя начальное условие в виде респределения поля $e^{\frac{- k_x^2}{\Delta k}}$ , тоесть записал $p A$ вместо $Ap$ причем похоже обе записи допустимы хотя операторы не коммутируют! в учебнике по квант оптике Слалли написано что это не страшно, мол удобно вычислениях, а вообще подобные гамильтонианы не физичны в принципе... как то все вилами по воде писано, пока не понимаю...
Дальше просто, решение для волн функции $\psi(k,t)$ в качестве пропогатора (с фазой в виде интеграла гамильтониана по времени) , При нахождении $<v>$ фазы неблагополучно исчезли забирая с собой время....

 Профиль  
                  
 
 Re: одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение27.12.2010, 09:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
AlexNew в сообщении #392210 писал(а):
Но проблема в том что стационарное уравнение гамильтониана об этом не знает, электрон улетит!

У Вас Гамильтониан от времени зависит. Как Вы пишете стационарное уравнение?
AlexNew в сообщении #392210 писал(а):
тоесть записал $p A$ вместо $Ap$ причем похоже обе записи допустимы хотя операторы не коммутируют!

Где $A$....
Если это векторный потенциал, то откудо он у Вас возник? У Вас же вроде только эл.поле.
AlexNew в сообщении #392210 писал(а):
я просто решил в моментном представлении, избавился от производной используя начальное условие в виде респределения поля $e^{\frac{- k_x^2}{\Delta k}}$

Я не понял :(
Можете привести решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение27.12.2010, 11:56 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
векторный потенциал связан с электрическим полем $E(t) = d_t A(t)$, Гамильтаниан можно записать в 2х колибровках:
$H = p^2/(2m) + e x E$
и
$H = (p+eA)^2/(2m)  \sim  =  p^2/(2m) + e A p $

я рассмотрел 2 гамильтониана в импульсном представлении (один из вопросов был сравнить калибровки)

$H = \frac{h^2}{2m} k^2 - i e \frac{d}{dk}E(k) $
тут махинация, а подсунул $E$ после оператора $x$

Аналогично для $A$
$H = \frac{h^2}{2m}k^2 - \frac{h}{m} e k A $

Сначала идея была реши задачу для стационарного случая, а потом представить временое решение в этом базисе, но я так не делал...
просто записал решение в виде $\psi(k,t) \sim e^{-\frac{i}{h} \int H(k,t) dt}$

видно что в первом случае подставляя поле $E(k) $ можно избавится от $\frac{d}{dk}$ и тогда можно просто интегрировать по времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение27.12.2010, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Все медленно но верно становится на свои места.

Итак, у Вас есть какой-то дикий векторный потенциал ${\bf A}={\bf n}_x A_0 \sin{\omega t}$,
где ${\bf n}_x$- единичный вектор вдоль оси x, а $A_0$ константа, равная $\frac{e^{\frac{- k_x^2}{\Delta k}}}{\omega}$.

Чтобы не забивать мозги, будем пользоваться системой $c=\hbar=m=1$.

Тут надо оговориться, что электродинамика на одномерии не существует. Это видно уже из того, что электрическое и магнитное поле в плоской волне перпендикулярны. Просто Ваше эл. поле направлено вдоль оси $x$. Понятно, что можно взять $\phi=0$.
Далее, нужно нарисовать уравнение Шредингера в таком поле. Гамильтониан Вы правильно выписали $H = (p+eA)^2/(2) $.

Другой подход: можно сделать градиентное преобразование и перейти к 4-потенциалу, в котором теперь равен нулю пространственный вектор ${\bf A}$ и отличен от нуля потенциал $\phi\equiv A^0$. Собственно, Гамильтониан примет вид:
AlexNew в сообщении #392280 писал(а):
$H = p^2/(2) + e x E$

где $E=grad{\phi}$.
Теперь, т.к. Гамильтониан в обоих представлениях явно зависит от времени, стациоанрное уравнение Шредингера мы писать не можем. Надо пользоваться общим:
$\imath\frac{\partial \psi}{\partial t}=\hat{H}\psi$
Или, в развернутом виде:
$\imath\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{(p+eA(t))^2}{2} \psi=(p^2/(2) + e x E)\psi$
Правильно?

-- Пн дек 27, 2010 16:01:42 --

В координатном представлении у Вас получится что-то типа функции Эйри на экспоненту, с комплексным(не чисто мнимым) показателем.

 Профиль  
                  
 
 Re: одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение27.12.2010, 22:58 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
Немного не так
$\vec{E}(k,t) = - \frac{\partial{\vec{A}}}{\partial t} - \nabla \phi \sim - \frac{\partial{\vec{A}(k,t)}}{\partial t}$
Здесь изменение поля по времяни значительно более существеные чем в пространстве (это стандартный подход)

$\vec{E}(k,t) = exp( -\frac{k^2}{\Delta k}) * \cos(wt)$
или
$\vec{A}(k,t) = w*exp( -\frac{k^2}{\Delta k}) * \sin(wt)$

Здесь $k = k_x$
где мы выберали наше поле $\vec{E}$ вдоль оси Ох - (линейная поляризация.) , вектор $\vec{A}$ будет тогда тоже вдоль $\vec{x}$.

Теперь можно использовать один из наших гамильтонианов.

Вопрос собственно вот в чем, решая наше уравнение в $k$ пространстве мы получаем волн функцию
$\psi(k,t) \sim \psi(k,t_o) e^{-i \alpha(t)}$
Нам нужно найти $<v>$ :

$ <v> \sim  <k> \sim \int e^{-i \alpha(t)}  k  e^{+i \alpha(t)} dk = \int k dk  = \frac{k^2}{2} $
не зависит от время...

мне кажется это решение сильно не правельное...

 Профиль  
                  
 
 Re: одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение27.12.2010, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
AlexNew в сообщении #392574 писал(а):
$\vec{E}(k,t) = exp( -\frac{k}{\Delta k}) * cos(wt)$

Вот в этой формуле, что из себя представляет $k$? Константа? $ck=\omega$??

 Профиль  
                  
 
 Re: одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение27.12.2010, 23:40 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
да, в формуле
$\vec{E}(k,t) = exp( -\frac{k^2}{\Delta k}) * \cos(wt)$

$k$ - это пространственый волновой вектр, равный $k = w/c$

Mожно записать по другому, используя Фурье преобразование:
$\vec{E}(x,t) = C*exp( -\frac{x^2}{\Delta x}) * \cos(wt)$

фактически он нужен исключитрльно для задание координаты, форма импульса определяется числом $\Delta k$ или $\Delta x$

использовать можно либо
$\vec{E}(x,t) $ для одного гамильтониана, но сложно ДУ 2ого порядка получается
или
$\vec{A}(k,t) = exp( -\frac{k^2}{\Delta k}) * \cos(wt)$
тогда
$H(t) = \frac{p^2 }{2m} + \frac{e}{m} pA =  \frac{h^2 k^2}{2m} + e \frac{i h}{m} \frac{d}{d k} exp( -\frac{k^2}{\Delta k}) * \cos(wt) = $
$ = \frac{k^2}{2m} - e \frac{2 k}{\Delta k}exp( -\frac{k^2}{\Delta k}) * \cos(wt)$


По условию частица находится в Гауссов пучке.

У меня тут полно ошибок со знаками, постояными планмка и прочим, не обращайте внимание, хотел передать идею решения на скорую руку.

 Профиль  
                  
 
 Re: одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение28.12.2010, 01:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
о хоспади, ещё один решает стационарное уравнение Шрёдингера вместо нестационарного...

 Профиль  
                  
 
 Re: одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение28.12.2010, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
а... Вот оно в чнм дело
AlexNew в сообщении #392591 писал(а):
$H(t) = \frac{p^2 }{2m} + \frac{e}{m} pA = \frac{h^2 k^2}{2m} + e \frac{i h}{m} \frac{d}{d k} exp( -\frac{k^2}{\Delta k}) * \cos(wt) = $
$ = \frac{k^2}{2m} - e \frac{2 k}{\Delta k}exp( -\frac{k^2}{\Delta k}) * \cos(wt)$

где вы воспользовались формулами
$p^2/2m=h^2k^2/2m$, и $E(k,t)=E(x,t)$ или $A(k,t)=A(x,t)$, которые, очевидно, не верны.

 Профиль  
                  
 
 Re: одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение28.12.2010, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Да и кстати, что-то мне подсказывает, что эту задачу вот с таким Гамильтонианом:
$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2}+E_0 e^{-(x-ct)^2/\Delta x}$
Вы не сможете решить. Нужно положить константу $E_0$ малой и воспользоваться теорией возмущений.
Если эта задача решаема(что-то смутно помню, она обязательно есть либо в задачнике Флюгге либо Когана). Поищите там.

 Профиль  
                  
 
 Re: одномерный електрон в ЭМ поле
Сообщение28.12.2010, 18:46 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
Bulinator писал(а):
где вы воспользовались формулами
$p^2/2m=h^2k^2/2m$, и $E(k,t)=E(x,t)$ или $A(k,t)=A(x,t)$, которые, очевидно, не верны.

там не знак равенство, а зчак следствия, достаточно взять ФП в одном представлении чтобы получить другое.

В частности:
$\psi(x,t) \rightarrow \psi(k,t)$
$\hat{p} \rightarrow h k$
$\hat{x} \rightarrow -ih \frac{d}{dk}$

анологично гаусов пучок можно представить как в $x$ так и в $k$ пространстве
$E(x,t) \rightarrow E(k,t)$ (форма разумется сохраняется)

у меня некоректна одна операция, там где я избавился от производной по $k$ в гамильтонеане... ловкость рук и ничего более...

Флюге я смотрел, там нет
Эта задача не на теорию возмущений, она допускает точное решение

Munin в сообщении #392614 писал(а):
о хоспади, ещё один решает стационарное уравнение Шрёдингера вместо нестационарного...

Вы опять попутали, здесь решается нестационарное уравнение, а причем здесь стационарное написано например у Давыдова $90, кстати хороший учебник.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group