Ограниченные операторы

[Юстас]

Пусть $X$-нормированное пространство, $A,\ B:X\rightarrow X$-ограниченные операторы, т.е. $\exists\ C:||Ax||\leqslant C||x||$. Может ли выполняться равенство $AB-BA=E$, $E$-тождественный оператор?

[Руст]

Речь идёт о линейных операторах или вообще.
То, что нет линейных операторов в конечномерном пространстве очевидно (подсчётом следа). В бесконечномерном в принципе такое возможно, если не ограничиваться ограниченностью, например оператор дифференцирования по х и умножения на х.

[Юстас]

Речь идёт об ограниченных(непрерывных) операторах, не обязательно линейных, в произвольном нормированном пространстве.

[Руст]

Это слишком общая постановка. Хорошо бы вначале разобраться с линейными операторами. Это похоже на нахождение пары Лакса. И в этом случае решение в некотором смысле сводится к умножению на х и дифференцированию по х. Возможно эти операторы можно сделать ограниченными, рассматривая например функции типа $P(x,e^x)$ (полиномы от двух переменных), рассмотренных в интервале (-1,0).

[Юстас]

В такой постановке можно элементарными методами доказать, используя лишь ограниченность, что приведенное равенство выполняться не может.

[Руст]

Да ограниченность оператора сильно ограничивает, даже в минимальном подпространстве образованном полиномами от x не удается сделать ограниченном оператор дифференцирования.
Среди нелинейных операторов интересно найти для начала полиномиальные, например
$A=cx^2+0.5x, B=x+0.5/c$.
Для нелинейных операторов по видимому и понятие ограниченности надо несколько видоизменить, а именно А ограниченный оператор, если ||Ax-Ay||<C||x-y||. В некотором смысле это означает ограниченность коэффициента Липшица и совпадает с вашим для линейных операторов.

[Юстас]

Да, про нелинейность я конечно же загнул, с таким понятием непрерывности можно говорить только о линейных операторах, так как для них непрерывность эквивалентна непрерывности в нуле. Просто для так определенной операторной нормы выполняется свойство $||AB||\leqslant ||A||\cdot||B||$, остальное же для решения неважно.

[Юстас]

Небольшая подсказка: если $AB-BA=E$, то $B^n(AB-BA)=B^n=(AB-BA)B^n \ \forall\ n$. Дальше осталось немного не очень хитрой арифметики.

[Руст]

1. $AB^n=B^nA+nB^{n-1}$
Из ограниченности оператора B и взяв произвольный собственный вектор х(если А ограничен и удовлет воряет этому уравнению можно показать существование собственного вектора А) легко построить для любого N вектор у, такой, что |Ay|>N|y|. В случае полного пространства можно указать собственный вектор А с собственным значением N для любого большого N. Строится в виде суммы ряда $y=\sum_{k=0}^{\infty}B^kx .$
Интереснее найти нелинейные непрерывные функционалы. Среди полиномиальных вроде только одна из них сдвиг x+a, другой оператор квадратичный.

[Юстас]

Да, получается именно такое равенство. Можно далее обойтись и без собственных векторов: $||nB^{n-1}||\leqslant2||A||\cdot||B||\cdot||B^{n-1}||$, или $2||A||\cdot||B||\geqslant n$. Противоречие с ограниченностью.

[sofyto]

Юстас писал(а):

Пусть $X$-нормированное пространство, $A,\ B:X\rightarrow X$-ограниченные операторы, т.е. $\exists\ C:||Ax||\leqslant C||x||$. Может ли выполняться равенство $AB-BA=E$, $E$-тождественный оператор?

proshe sled ot obeih chastej ravenstva vichislit tr(AB - BA)=0, Tr(E) = dim range(E)

[photon]

sofyto, если нет русской раскладки, пользуйтесь ресурсом http://www.translit.ru/ - Ваши сообщения нечитаемы - это является нарушением - и включите BBCode

[Юстас]

Sofyto, след можно только для конечномерных операторов определить, а пространство $X$ может иметь какую угодно размерность.