2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Колмогоров. Геометрия
Сообщение04.12.2010, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Наткнулся на учебник геометрии Колмогорова. Почему-то он пишет то отрезок $AB$, то $[AB]$, $|AB|$. С углами: то $\angle ABC$, то $\widehat{ABC}$. Я что-то не уловил логики, зачем так много обозначений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров. Геометрия
Сообщение04.12.2010, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
caxap в сообщении #383584 писал(а):
Наткнулся на учебник геометрии Колмогорова. Почему-то он пишет то отрезок $AB$, то $[AB]$, $|AB|$. С углами: то $\angle ABC$, то $\widehat{ABC}$. Я что-то не уловил логики, зачем так много обозначений?

Как минимум, для того, чтобы отличать отрезок (множество точек) от его длины (числа) $|AB|$, угол $\angle ABC$ от его величины $\widehat{ABC}$ (число). Это то, что катастрофически не различают современные школьники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров. Геометрия
Сообщение04.12.2010, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
А... Ясно. А что такое $[AB]$?
--mS-- в сообщении #383618 писал(а):
Это то, что катастрофически не различают современные школьники.

А почему тогда только в учебнике Колмогорова так? Я, например, учился по Атанасяну. Он новее Колмогорова, но там отрезок и его величина, угол и его величина обозначаются одинаково. Сейчас посмотрел Погорелова -- там тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров. Геометрия
Сообщение04.12.2010, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
caxap в сообщении #383621 писал(а):
А... Ясно. А что такое $[AB]$?
Вы же сами написали выше: "отрезок $AB$".
caxap в сообщении #383621 писал(а):
А почему тогда только в учебнике Колмогорова так? Я, например, учился по Атанасяну. Он новее Колмогорова, но там отрезок и его величина, угол и его величина обозначаются одинаково. Сейчас посмотрел Погорелова -- там тоже.
Этот вопрос следует адресовать авторам учебников. Последствия такого смешения понятий расхлебывать приходится вузовским преподавателям (например, мне), и долго. Студенты путают множество и число элементов в нём, отрезок и его длину, множество точек под графиком функции и его площадь и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров. Геометрия
Сообщение05.12.2010, 11:19 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
caxap
caxap в сообщении #383621 писал(а):
А что такое $[AB]$?
Если я не ошибаюсь, Колмогоров был идеологом проведения в обозначения геометрических понятий подхода, основанного на множествах.
Т.е. отрезок обозначается $[AB]$, ср. с $[2;5]$.
Луч $\text{---}$ $[AB)$, ср. с $[2;+\infty)$.
Прямая $\text{---}$ $(AB)$, ср. с $(-\infty;+\infty)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров. Геометрия
Сообщение05.12.2010, 11:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
EtCetera
Ясно.

(Оффтоп)

EtCetera в сообщении #383750 писал(а):
Луч $[A,B)$, ср. с . $[2;\+\infty)$

По-моему, $[AB)$ больше подходит для $[AB]\setminus\{B\}$.

Интересно, почему это не прижилось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров. Геометрия
Сообщение05.12.2010, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
caxap в сообщении #383621 писал(а):
А... Ясно. А что такое $[AB]$?

мне кажется, что это множество точек данного отрезка

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров. Геометрия
Сообщение05.12.2010, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
paha в сообщении #383821 писал(а):
мне кажется, что это множество точек данного отрезка

Ну так это отрезок и есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров. Геометрия
Сообщение05.12.2010, 17:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
caxap в сообщении #383761 писал(а):
Интересно, почему это не прижилось?

Наверное, из-за избыточной абстрактности. Школьная геометрия нужна всем, даже и тем, для которых отрезок -- это просто отрезок, а не какое-то там множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров. Геометрия
Сообщение07.12.2010, 10:20 


21/12/06
88
Колмогоров вообще к определениям относился с большим вниманием. Например, категорически не любил понятие "равных" фигур (в том смысле, в котором его сейчас в школе используют), предпочитая определять их исключительно как "конгруэнтные". В качестве аргумента рисовал на доске два конгруэнтных треугольника $A$ и $B$ и говорил: "Ну как же эти фигуры могут быть равны? Если бы они были именно равны, то мы имели бы $A \cap B = A =B,$ здесь же это, очевидно, не так, ибо пересечение пусто."

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров. Геометрия
Сообщение07.12.2010, 13:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Интересно, а векторы Колмогоров тоже называл "конгруэнтными"?... (на том же основании)

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров. Геометрия
Сообщение07.12.2010, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
ewert в сообщении #384582 писал(а):
Интересно, а векторы Колмогоров тоже называл "конгруэнтными"?... (на том же основании)

Нет, вектора назывались совпадающими, равными, одинаковыми - не было специального термина. И именно на этом основании, поскольку вектор определялся не то как "параллельный перенос", не то как "класс эквивалентности направленных отрезков". А не как "отрезок со стрелочкой". Не уверена сейчас, какое из этих определений было в геометрии Колмогорова, по которой мы учились, но твёрдо помню, что на вступительном экзамене по "математике устно" сообщила экзаменатору оба :) Тут мне и пришлось выучить истину: язык мой - враг мой :).

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров. Геометрия
Сообщение07.12.2010, 15:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
--mS-- в сообщении #384601 писал(а):
Нет, вектора назывались совпадающими, равными, одинаковыми - не было специального термина. И именно на этом основании, поскольку вектор определялся не то как "параллельный перенос", не то как "класс эквивалентности направленных отрезков". А не как "отрезок со стрелочкой".

Но и фигуры в обычном понимании -- это вовсе не сами множества, а некии их классы эквивалентности. Так что аналогия -- полная.

--mS-- в сообщении #384601 писал(а):
твёрдо помню, что на вступительном экзамене по "математике устно" сообщила экзаменатору оба :) Тут мне и пришлось выучить истину: язык мой - враг мой :).

Не очень понятно почему: фактически ведь это одно и то же, просто второе более формализовано.

--------------------------------------------------------------
Кстати, родственный вопрос: почему векторы называют ортогональными, а не перпендикулярными?... и коллинеарными, а не параллельными?... (насчёт компланарности вопроса нет -- там всё ясно)

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров. Геометрия
Сообщение07.12.2010, 16:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
ewert в сообщении #384603 писал(а):
Но и фигуры в обычном понимании -- это вовсе не сами множества, а некии их классы эквивалентности. Так что аналогия -- полная.
Нет, конечно. Фигуры в любой геометрии - это множества точек прямой/плоскости/пространства (даже если слово "множество" не упоминается), никаких классов эквивалентности и близко нет, да и быть не может, иначе рушится вся система терминов: о какой принадлежности точки прямой, вершин - треугольнику и т.п. можно говорить, если всё это - классы эквивалентности? Треугольник (Погорелов) - фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

ewert в сообщении #384603 писал(а):
Не очень понятно почему: фактически ведь это одно и то же, просто второе более формализовано.
Вот и пришлось доказывать эквивалентность двух определений :)

ewert в сообщении #384603 писал(а):
Кстати, родственный вопрос: почему векторы называют ортогональными, а не перпендикулярными?... и коллинеарными, а не параллельными?... (насчёт компланарности вопроса нет -- там всё ясно)
Присоединяюсь к вопросу :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров. Геометрия
Сообщение07.12.2010, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Строгость строгостью, но зачем нужны громоздкие обозначения для элементарных вещей?! Ведь и так понятно, что отрезок $AB$ в смысле множества точек и длина отрезка $AB$ -- разные понятия. И что "треугольники равны" значит, что то и только то, что они совмещаются движением. Погорелов, Атанасян и все другие тоже так считают, но просто не жертвуют удобством и краткостью обозначений. Ведь можно же считать $AB:=[AB]$, $AB:=|AB|$, $\triangle ABC=\triangle EFG :\iff \triangle ABC\cong\triangle EFG$ с подстановкой смысла из контекста и т. д. Тут как в языках программирования -- синтаксический сахар и перегрузка обозначений существенно упрощает процесс программирования. В конце концов, всякие $+$ в математике и так уже давно "перегружены": и сумма чисел (разных), и сумма векторов, и объединение непересекающихся множеств, и сумма линейных подпространств и т. д. Ведь обозначения сами по себе мало чего стоят без контекста, так чего же зря строжничать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group