2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Putnam 2010
Сообщение30.11.2010, 23:33 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
Зеркало студенческой олимпиады имени Патнема в 2010 году будет проводиться 5 декабря в следующих городах:

Украина, Киев, просп. академика Глушкова, 4-Е, Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, механико-математический факультет, ауд. 41, 10:00-13:00 ("A"), 14:00-17:00 ("B") по киевскому времени (GMT+2)
(Также ожидаются участники из НТУУ "Киевский политехнический институт" и Национального педагогического университета имени М. П. Драгоманова)

Украина, Львов, ул. Дорошенко, 41, Львовский национальный университет имени Ивана Франко, географический факультет, ауд. 24, 10:00-13:00 ("A"), 14:00-17:00 ("B") по киевскому времени (GMT+2)
(Организует механико-математический факультет)

Украина, Донецк, ул. Челюскинцев, 157, Донецкий государственный университет управления, корпус 3, ауд. 410, 10:00-13:00 ("A"), 14:00-17:00 ("B") по киевскому времени (GMT+2)
(Совместно с Донецким национальным университетом)

Украина, Харьков, площадь Свободы, 4, Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, механико-математический факультет, ауд. 6-52, 10:00-13:00 ("A"), 14:00-17:00 ("B") по киевскому времени (GMT+2)

Украина, Николаев, ул. Никольская, 24, Николаевский национальный университет имени В. А. Сухомлинского, механико-математический факультет, ауд. 367, 10:00-13:00 ("A"), 14:00-17:00 ("B") по киевскому времени (GMT+2)
(Совместно с Национальным университетом кораблестроения имени адмирала Макарова)

Россия, Санкт-Петербург, просп. Кронверкский, 49, Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, ауд. 331, 332, 11:00-14:00 ("A"), 15:00-18:00 ("B") по московскому времени (GMT+3)
(совместно с Санкт-Петербургским государственным университетом)

Туркменистан, Ашгабат, Туркменский государственный университет им. Магтымгулы, математический факультет, 12:00-15:00 ("A"), 16:00-19:00 ("B") по ашгабатскому времени (GMT+5)

Сайт олимпиады: http://putnam.ho.ua/index.html

После того, как олимпиада пройдет везде, постараюсь выложить тексты здесь.

//Закрыто. Когда будет возможно обсуждение, тема будет открыта. / GAA, 4.12.10

//Открыто. / Toucan, 6.12.10

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2010
Сообщение06.12.2010, 16:51 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
The 71st William Lowell Putnam Mathematical Competition
Saturday, December 4, 2010


A1. Given a positive integer $n,$ what is the largest $k$ such that the numbers $1,2,\dots,n$ can be put into $k$ boxes so that the sum of the numbers in each box is the same?
[When $n=8,$ the example $\{1,2,3,6\},\{4,8\},\{5,7\}$ shows that the largest $k$ is at least 3.]

A2. Find all differentiable functions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ such that
$$f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}n$$
for all real numbers $x$ and all positive integers $n.$

A3. Suppose that the function $h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ has continuous partial derivatives and satisfies the equation
$$h(x,y)=a\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)+b\frac{\partial h}{\partial y}(x,y)$$
for some constants $a,b.$ Prove that if there is a constant $M$ such that $|h(x,y)|\le M$ for all $(x,y)$ in $\mathbb{R}^2,$ then $h$ is identically zero.

A4. Prove that for each positive integer $n,$ the number $10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n-1$ is not prime.

A5. Let $G$ be a group, with operation $*$. Suppose that
(i) $G$ is a subset of $\mathbb{R}^3$ (but $*$ need not be related to addition of vectors);
(ii) For each $\mathbf{a},\mathbf{b}\in G,$ either $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{a}*\mathbf{b}$ or $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}$ (or both), where $\times$ is the usual cross product in $\mathbb{R}^3.$
Prove that $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}$ for all $\mathbf{a},\mathbf{b}\in G.$

A6. Let $f:[0;\infty)\to\mathbb{R}$ be a strictly decreasing continuous functions such that $\lim_{x\to\infty}f(x)=0.$ Prove that $\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{f(x)-f(x+1)}{f(x)}\,dx$ diverges.

B1. Is there an infinite sequence of real numbers $a_1,a_2,a_3,\dots$ such that
$$a_1^m+a_2^m+a_3^m+\cdots=m$$
for every positive integer $m?$

B2. Given that $A,B,$ and $C$ are noncollinear points in the plane with integer coordinates such that the distances $AB,AC,$ and $BC$ are integers, what is the smallest possible value of $AB?$

B3. There are 2010 boxes labeled $B_1,B_2,\dots,B_{2010},$ and $2010n$ balls have been distributed among them, for some positive integer $n.$ You may redistribute the balls by a sequence of moves, each of which consists of choosing an $i$ and moving exactly $i$ balls from box $B_i$ into any one other box. For which values of $n$ is it possible to reach the distribution with exactly $n$ balls in each box, regardless of the initial distribution of balls?

B4. Find all pairs of polynomials $p(x)$ and $q(x)$ with real coefficients for which
$$p(x)q(x+1)-p(x+1)q(x)=1.$$

B5. Is there a strictly increasing function $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ such that $f'(x)=f(f(x))$ for all $x?$

B6. Let $A$ be an $n\times n$ matrix of real numbers for some $n\ge 1.$ For each positive integer $k,$ let $A^{[k]}$ be the matrix obtained by raising each entry to the $k$th power. Show that if $A^k=A^{[k]}$ for $k=1,2,\cdots,n+1,$ then $A^k=A^{[k]}$ for all $k\ge 1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2010
Сообщение06.12.2010, 19:10 


27/10/09
32
По-моему в этом году задачи достаточно легкие, во всяком случае где-то 7 (А1-4, В1,2,5) делаются практически сходу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2010
Сообщение08.12.2010, 18:01 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
A5.Пусть $\mathbf {e}\ne \mathbf {0}$ единица группы $G,\mathbf {a}\ne 0\mathbf$ произвольный элемент группы,тогда $\mathbf {e}*\mathbf {a}=\mathbf {a}*\mathbf {e}=\mathbf {a}.$
Предположим $\mathbf {e}\times \mathbf {a}\ne \mathbf {0}$,тогда согласно условию $\mathbf {a}=\mathbf {e}\times \mathbf {a}=\mathbf {a}\times \mathbf {e}$ и,следовательно,$\mathbf {a}=\mathbf {0}$-противоречие.Следовательно,$\mathbf {e}\times \mathbf {a}=\mathbf {0}$ и таким образом $\mathbf {a}=k\mathbf {e}$,а т.к. $\mathbf {a}$ произвольный элемент группы,то всегда $\mathbf {a}\times \mathbf {b}=\mathbf {0}$
Пусть теперь $\mathbf {e}=\mathbf {0}$.Из равенства $\mathbf {a}*\mathbf {a^{-1}}=\mathbf {0}$(доказательство от противного) следует,что $\mathbf {a}\times \mathbf {a^{-1}}=\mathbf {0}$,т.е. $\mathbf {a^{-1}}=k_a\mathbf {a}$,где $k_a$-некоторое действительное число.
Пусть теперь $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ элементы группы для которых $\mathbf {a}\times \math {b}\ne \mathbf {0}$Рассмотрим равенство $\mathbf {a^{-1}}*\mathbf {a}*\mathbf {b}=\mathbf {b}$Можно перемножить сначала два последних слагаемых (ассоциативный закон).Это позволяет с учетом условия задачи записать это равенство в таком виде:$k_a\mathbf {a}\times [\mathbf {a}\times \mathbf {b}]=\mathbf {b}$Отсюда следует,что векторы $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ ортогональны,а коэффициент $k_a=-\frac 1{(\mathbf {a}\mathbf {a})}.$
Здесь я должен к сожалению прерваться,окончание допишу немного позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2010
Сообщение09.12.2010, 19:12 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Продолжение решения A.5.
Отметим,что коэффициент $k_a<0.$
В предыдущем сообщении было сделано предположение,что $\mathbf {a\times b\ne 0}$.Наряду сэлементами $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ в группу входит и элемент $\mathbf {c}=\mathbf {a}*\mathbf {b}=\mathbf {a}\times \mathbf {b}$.Таким образом группа содержит тройку взаимно ортогональных векторов $\mathbf {a,b,c}.$Теперь очевидно,что группа может содержать только элементы,содержащиеся в одном из трех множеств:$1.\alpha \mathbf {a},2.\beta \mathbf {b},3.\gamma \mathbf {c},$ где $\alpha ,\beta ,\gamma$-действительные числа.
Рассмотрим элемент $\mathbf {a}*\mathbf {a}.$Он не равен $\mathbf {0}$,т.к. мы выяснили,что $\mathbf {a^{-1}}=k_a\mathbf {a},(k_a<0).$Поэтому он должен записываться одним из приведенных выше трех способов.Покажем,что это невозможно.Пусть,например,этот элемент записывается первым способом.Тогда,умножая его справа на элемент $\mathbf {b}$ получим:$\mathbf {(a*a)*b}=\alpha \mathbf {a\times b}=\alpha \mathbf {c}$,с другой стороны, это же произведение можно записать как: $\mathbf {a*(a*b)=a\times [a\times b]}=\lambda \mathbf {b}$,где $\lambda $-числовой множитель неравный 0.Получили невозможное равенство:$\alpha \mathbf {c}=\lambda \mathbf {b}$.Аналогично доказывается невозможность случаев 2. и 3.
Отсюда заключаем,что сделанное предположение неверно и,следовательно,$\mathbf {a\times b=0}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2010
Сообщение11.12.2010, 23:02 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
A1.$k_{max}=[\frac {n+1}2]$
A3.Поделим обе части уравнения на $\sqrt {a^2+b^2}.$В правой части уравнения получим производную функции $h(x,y)$ по направлению вектора k(a,b)Перейдем к системе координат (x',y'),повернутой вокруг начала так,что ее ось абсцисс направлена по вектору k.В новых координатах уравнение принимает вид:$h(x',y')=\dfrac {\partial {h(x',y')}}{\partial {x'}}.$
Пусть $h(x_0',y'_0)>0.$Интегрируем по $x'$ от $x'_0$ до $x'$ и получим:$h(x',y'_0)=h(x'_0,y'_0)\exp(x'-x'_0)$.Функция неограничена при $x'\to \infty .$Следовательно необходимо $h(x',y')\equiv 0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2010
Сообщение14.12.2010, 13:08 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
B1.Предположим такая последовательность существует и для всех $i,|a_i|<1$,тогда $\sum \limits _{i=1}^{\infty }a_i^4<\sum \limits _{i=1}^{\infty }a_i^2=2,$что противоречит условию.С другой стороны последовательность не может содержать более одного элемента с модулем $\geqslant 1,$т.к. иначе не выполнялось бы равенство для $m=2$.
Пусть для $i=L$ выполнено неравенство $|a_L|\geqslant 1$,для четных $m$ из условия следует: $1\leqslant |a_L|\leqslant \sqrt [m]{m}.$Устремляя $m$ к бесконечности по четным $m$,получим $|a_L|=1.$Поэтому \sum \limits _{i\ne L}a_i^4=3<\sum \limits _{i\ne L}a_i^2=1$,противоречие,т.е. такой последовательности не существует.
B2.$AB_{min}=3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2010
Сообщение15.12.2010, 00:41 
Заслуженный участник


01/12/05
458
dm в сообщении #384262 писал(а):

[b]A6.
Let $f:[0;\infty)\to\mathbb{R}$ be a strictly decreasing continuous functions such that $\lim_{x\to\infty}f(x)=0.$ Prove that $\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{f(x)-f(x+1)}{f(x)}\,dx$ diverges.

$$\int_0^{\infty}\frac{f(x)-f(x+1)}{f(x)}\,dx\geq\lim_{A\to \infty}\int_0^A \int_{x+1}^x \frac{f'(y)}{f(x)}dydx
\geq\lim \int_1^{A+1}\int_{y-1}^{y}\frac{f'(y)}{-f(x)}dxdy\geq \lim \int_1^{A+1}\frac{f'(y)}{-f(y)}dy=-\int \ln f(y)dy$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2010
Сообщение19.12.2010, 21:39 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
B4.Пусть $\alpha _i,i=1,\dots ,m$-корни полинома $p(x),$ а $\beta _j,j=1,\dots ,n$-корни полинома $q(x).$В равенстве (1): $$p(x)q(x+1)-p(x+1)q(x)=1 \qquad (1)$$положим сначала $x=\alpha _i$,а затем $x=\alpha _i-1$,получим $p(\alpha _i+1)q(\alpha _i)=-1,p(\alpha -1)q(\alpha _i)=1,$сложив полученные равенства получим $q(\alpha _i)[p(\alpha _i+1)+p(\alpha _i-1)]=0.$Т.к. $q(x)$ и $p(x)$ не имеют общих корней,то $p(\alpha _i+1)+p(\alpha _i-1)=0.$Видим,что полиномы $P(x)=p(x+1)+p(x-1)$ и $p(x)$ имеют одинаковые корни,а т.к. их степени равны,то $P(x)=cp(x).$Сравнивая коэффициенты при старших степенях $x$ находим $c=2.$Таким образом $p(x+1)+p(x-1)=2p(x)\text {или} p(x+1)-p(x)=p(x)-p(x-1)$.Отсюда следует,что $p(x+n+1)-p(x+n)=p(x+1)-p(x)$.Это возможно только если $p(x)=p_1x+p_0.\qquad (2)$
Точно также можно показать,что $q(x)=q_1x+q_0.\qquad (3)$Подставляя полученный вид полиномов в равенство (1) видим,что $p_0q_1-q_0p_1=1\qquad (4)$
Т.е. равенство (1) выполняется для полиномов вида (2),(3) коэффициенты которых связаны равенством (4).

 Профиль  
                  
 
 Re: Putnam 2010
Сообщение30.12.2010, 22:55 


29/12/10
33
Если вас интересует, здесь решение: http://www.amc8.org/a-activities/a7-problems/putnam/-pdf/2010s.pdf

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group