2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Объем правильного симплекса
Сообщение10.09.2006, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
Найти объем правильного симплекса со стороной $a$ в $M$-мерном пространстве

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.09.2006, 23:08 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5143
См. http://mathworld.wolfram.com/Cayley-Men ... inant.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.09.2006, 06:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
Если Вас не затруднит, приведите явную формулу, ведь сторона правильного симплекса задана и равна $a$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.09.2006, 10:37 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5143
Формула получается в лоб вычислением определителя матрицы Кели-Менгера:

$$\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}\frac{a^n}{n!}$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.09.2006, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
Если под $n$ понимать размерность пространства, то для $n=3$ формула врет. Объем правильного тетраэдра равен $V=\frac{a^3}{6\sqrt{2}}$.
У меня без использования определителей получилась формула $\frac{a^M}{M!}\frac{\sqrt{M+1}}{(\sqrt{2})^M}$. Нужно проверить, правильна ли она.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.09.2006, 14:38 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5143
Была описка: вместо $2^n$ стояло $2n$. Исправил.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.09.2006, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
Мои рассуждения, хотя и нестрогие в математическом смысле, кажутся интересными, поэтому приведу их здесь. Будем рассуждать по аналогии и определим объем симплекса в $M$ - мерном пространстве как $V_M=\frac{V_{M-1}H_M}{M}$, где $V_{M-1}$ - объем грани в $M-1$ -мерном пространстве, $H_M$ - высота симплекса в $M$ - мерном пространстве. Таким образом, получаем следующую формулу $V_M=\frac{1}{M!}H_0H_1H_2...H_M$. Вся наша задача - это научиться выражать $H_i$ через $a$. Допускаем, что в $M$ - мерном пространстве выполняется теорема Пифагора, тогда всегда получаем треугольник, в котором гипотенуза равна $a$, один из катетов является высотой, а другой может быть выражен через $a$ на основе следующих бариоцентрических соображений:
- высота правильного треугольника опускается в центр масс отрезка - основания
- высота тетраэдра опускается в центр масс треугольника-основания
Следовательно, в $M$-мерном пространстве высота правильного симплекса опускается в центр масс правильного симплекса из $M-1$ - мерного пространства.
Используя все эти бариоцентрические соотношения находим высоту правильного симплекса $H_M=a\frac{\sqrt{(M+1)M}}{\sqrt{2}M}$, из чего легко получается приведенная формула.
Справедливости ради следует отметить, что этот вопрос я уже задавал здесь, но он не нашел ответа.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.09.2006, 19:28 
Заслуженный участник


09/02/06
4304
Москва
Гораздо проще считать n мерный симплекс как грань $x_0+x_1+...+x_n=\frac{a}{\sqrt 2}, \ x_i\ge 0$. Тогда сразу получаем объём n+1 мерного (прямоугольного симплекса) $\frac{a^{n+1}}{2^{(n+1)/2}(n+1)!}$, а высота $\frac{a}{\sqrt{2(n+1)}}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.09.2006, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1716
Москва
Можно, конечно, пользоваться и формулами безусловной оптимизации по правильному симплексу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного симплекса
Сообщение25.02.2017, 13:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1873
СПб
а чему равна длина ребра, если правильный симплекс вписан в единичную сферу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного симплекса
Сообщение25.02.2017, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
Это то же самое, что найти расстояние от центра масс до вершины, то есть высоту центра масс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного симплекса
Сообщение25.02.2017, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1873
СПб
Munin в сообщении #1195280 писал(а):
Это то же самое, что найти расстояние от центра масс до вершины

Ну, от центра масс до вершины $1$, если вписан. А высота тогда $h=1+\frac{1}{n}$, если дело в $\mathbb{R}^n$. То есть сторона симплекса равна $a=\sqrt{2+\frac{2}{n}}$, а объем
$$
\frac{(n+1)^{\frac{n+1}{2}}}{n!\,\,n^{\frac{n}{2}}}?
$$
Что-то я плохо сегодня соображаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного симплекса
Сообщение25.02.2017, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
alcoholist в сообщении #1195302 писал(а):
Ну, от центра масс до вершины $1$, если вписан.

Я подразумевал "если взять сторону за единицу".

Я подумаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем правильного симплекса
Сообщение26.02.2017, 03:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
Проще всего взять $n$-мерный симплекс в $(n+1)$-мерном пространстве как часть плоскости $\sum x_i=1,$ лежащую в положительном квадранте. Его сторона $a=|(1,0,\ldots)-(0,1,0,\ldots)|=\sqrt{2}.$ Его центр в точке $C=(\tfrac{1}{n+1},\ldots).$ Расстояние от центра до вершины
$$r=|C-(1,0,\ldots)|=\sqrt{(1-\tfrac{1}{n+1})^2+n(\tfrac{1}{n+1})^2}=\sqrt{\tfrac{n}{n+1}}.$$ А, всё это уже написал Руст аж в 2006 году.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group