2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Посчитать сумму
Сообщение10.09.2006, 11:30 
Заблокирован
Аватара пользователя


04/09/05

410
Москва
Вспомнил какую-то задачку. Вроде она несложная, но решение я сам плохо помню.

Пусть $\zeta  = \exp \frac{{2\pi i}}{n}$, $S_n  = \sum\limits_{\left( {k,\,n} \right) = 1} {\zeta ^k } $. Вычислить $S_{70}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.09.2006, 15:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
чисел, взаимно простых с 70, бесконечно много, то есть Вы предлагаете просуммировать ряд, общий член которого имеет равный единице модуль, и, поэтому, не стремится к нулю. В каком же тогда смысле нужно понимать суммирование?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.09.2006, 16:47 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Видимо имелось ввиду сумма по $k\leqslant n$. Тогда нужно заметить, что $\sum\limits_{k=1}^{k=n}\zeta^k=0$, и тогда искомая сумма $S_n=-(S(2)+S(5)+S(7)-S(10)-S(14)-S(35)+S(70)$, где $S(i))$ - сумма слагаемых исходной суммы, таких что $k$ кратно $i$. Каждая из этих сумм есть геометрическая програссия и легко считается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.09.2006, 21:07 
Заблокирован
Аватара пользователя


04/09/05

410
Москва
Юстас писал(а):
Видимо имелось ввиду сумма по $k\leqslant n$

Да, я прошу меня простить, именно это и имелось в виду.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.09.2006, 21:42 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Используя принцип включения-исключения, получаем формулу
$$\sum_{k=1\atop (k,n)=1}^n \zeta^k = \sum_{d\mid rad(n)} \mu(d) \sum_{k=1}^{n/d} \zeta^{kd},$$
где $rad(n)$ - это произведение различных простых делящих $n,$ $\mu$ - функция Мёбиуса.
Нетрудно видеть, что внутренняя сумма равна 0 всегда, за исключением случая $d=n$, когда она равна 1.

Поэтому $S_n = \mu(n),$ ну и $S_{70} = \mu(70) = -1.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group