2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 найти распределение отношения двух нормальных с.в.
Сообщение26.10.2005, 20:37 
вероятности х и y распределены по нормальному закону.
Заданы их матаматические ожидания и СКО.
Определить функцию распределения частного z=x/y

  
                  
 
 
Сообщение26.10.2005, 21:52 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine
Ответить на этот вопрос невозможно, если не известно, что х,у не зависимы или, если зависимы, то как именно...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.10.2005, 22:32 
dm писал(а):
Ответить на этот вопрос невозможно, если не известно, что х,у не зависимы или, если зависимы, то как именно...


Он наверняка имел ввиду, что функции независимы. Неуверена, но насколько я помню, надо задать интеграл через их плотности, которые в случае норального распределения имеют вид: $\frac {e^{-(x-m)^2/2d^2}}{\sqrt{\pi d}}$. Далее, поскольку у Вас обе величины распределены по одинаковому закону и под интегралом стоит е, то Вы их можете соответственно объеденить. Дальше Вы делаете подстановку всего того, что у Вас стоит в степени на какую-нибудь переменную, у Вас должно получиться что-то типо Гамма-функции, которую Вы и интегрируете.

  
                  
 
 
Сообщение27.10.2005, 06:14 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Цитата:
определить функцию распределения частного z=x/y

Это нетривиальная задача, по-моему. По крайней мере, когда я ее решал, у меня осталось такое впечатление.
Я могу выписать плотность распределения z, но
1) это здоровенная формула
2) я еще не проверял эту формулу

Вообще, вы уверены, что вам нужна эта задача? Обычно она так не ставится.

 Профиль  
                  
 
 распределения
Сообщение27.10.2005, 09:52 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Если рассмотреть частный случай стандартных нормальных распределений, то это распределение Стьюдента с одной степенью свободы, которое совпадает с распределением Коши. Можно посмотреть в книгах, как оно выводится, и обобщить на случай нестандартных распределений.

 Профиль  
                  
 
 Re: распределения
Сообщение27.10.2005, 17:31 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
PAV писал(а):
Если рассмотреть частный случай стандартных нормальных распределений, то это распределение Стьюдента с одной степенью свободы, которое совпадает с распределением Коши. Можно посмотреть в книгах, как оно выводится, и обобщить на случай нестандартных распределений.

Это неправильно. Стьюдент - это нормальная делить на хи-квадрат, а здесь отношение двух нормальных.

 Профиль  
                  
 
 Re: распределения
Сообщение27.10.2005, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
PAV писал(а):
Если рассмотреть частный случай стандартных нормальных распределений, то это распределение Стьюдента с одной степенью свободы, которое совпадает с распределением Коши. Можно посмотреть в книгах, как оно выводится, и обобщить на случай нестандартных распределений.


Стандартное нормальное распределение задано как N(0,1), отсюда следует, что математическое ожидание равно 0, что не обязательно должно быть задано по условию. Конечно можно сказать, что плотность СНР является граничным значением, но здесь это не удастся использовать (центральная предельная теорема, Вы наверное это имели в виду?). Интеграл действительно ооочень громоздкий (надо будет искать дисперсию, для этого выводить характеристическую функцию, для этого считать преобразование Фурье...), вообще такии задачи задают обычно с другими распределениями. Во вторых, графики распределение Коши и нормального распределения действительно очень схожи, но они имеют абсолютно разные свойства.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.10.2005, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
А вааще, похоже напутано условие: либо распределение другое, либо, если нормальное, то дисперсия должна быть задана (необязательно конечно, но всё-же). Потому-что там придётся практически две задачи в одной решать...

 Профиль  
                  
 
 Re: распределения
Сообщение27.10.2005, 23:37 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Dan_Te писал(а):
PAV писал(а):
Если рассмотреть частный случай стандартных нормальных распределений, то это распределение Стьюдента с одной степенью свободы, которое совпадает с распределением Коши. Можно посмотреть в книгах, как оно выводится, и обобщить на случай нестандартных распределений.

Это неправильно. Стьюдент - это нормальная делить на хи-квадрат, а здесь отношение двух нормальных.


Стьюдент - это нормальная делить на корень из хи-квадрат. С одной степенью свободы - значит, корень из хи-квадрат есть просто модуль нормальной. А так как в числителе распределение симметрично относительно нуля, то от добавления модуля распределение не изменится.

То, что я написал, я уточнил по справочникам. Там подтверждены оба утверждения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.10.2005, 23:39 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Черт :oops:
Я протупил =))

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.11.2005, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:

У меня получмлось примерно так:
Пусть $p(x,m,d)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} d} e^{-\frac{{(x-m)}^2}{2{d}^2}}$ - плотность нормального распределения, а $N(x,m, d)=\int\limits_{-\infty}^{x}p(y,m,d) d y$ - функция распределения его.

Пусть, далее, $x$ имеет параметры $mx$ и $dx$, а $y$ - $my$ и $dy$.

По формуле Байеса $p(\frac{x}{y})=\!\!\int\limits_{x=\frac{x}{y}y}\!\!p(x)p(y)$. Обозначая $z\rightleftharpoons \frac{x}{y}$, беря Якобиан, и замечая, что все симметрично относительно $0$ ($\frac{x}{y}=\frac{-x}{-y}$) имеем $p(z)=2 \int\limits_{0}^{\infty}p(z \ y,mx,dx)p(y,my,dy)\ y \  dy$. Ну, тут засучиваем рукава и подставляем плотности: $2\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^{-\frac{(z\,y -mx)^2}{2 dx^2}}}{\sqrt{2\pi} dx} \frac{e^{-\frac{(y -my)^2}{2 dy^2}}}{\sqrt{2\pi} dy}\,y\,dy=\frac{1}{\pi\,dx\,dy}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-\frac{(z\,y -mx)^2}{2 dx^2}-\frac{(y -my)^2}{2 dy^2}}\,y\,dy$. Дабы теперь не сбиться со счету, берем отдельно показатель экспоненты $-\frac{(z\,y -mx)^2}{2 dx^2}-\frac{(y -my)^2}{2 dy^2}$. Выделяя полный квадрат, имеем: $-\frac{(mx-z\,my)^2}{2(dx^2+z^2 dy^2)}-\frac{1}{2}\left(\frac{y\sqrt{dx^2+z^2 dy^2}}{dx\,dy}}-\frac{my\,dx^2+z\,mx\,dy^2}{dx\,dy\sqrt{dx^2+z^2 dy^2}}\right)^2$. Константу (по $y$) мы вынесем, ничтоже усомнившеся, за знак интеграла, и сделаем подстановку, которая все нам нормализует $y\rightleftharpoons \frac{dx\,dy}{\sqrt{dx^2+z^2 dy^2}}(u+\xi)$, где \xi$\rightleftharpoons\frac{my\,dx^2+z\,mx\,dy^2}{dx\,dy\sqrt{dx^2+z^2 dy^2}}$. Теперь $p(z)=\frac{1}{\pi\,dx\,dy}e^{-\frac{(mx-z\,my)^2}{2(dx^2+z^2 dy^2)}}\int\limits_{-\xi}^{\infty}\frac{dx^2 dy^2}{dx^2+z^2 dy^2} e^{-\frac{u^2}{2}} (u + \xi)du=$$\frac{dx\,dy}{\pi\,(dx^2+z^2 dy^2)}e^{-\frac{(mx-z\,my)^2}{2(dx^2+z^2 dy^2)}}\int\limits_{-\xi}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{2}} (u + \xi)du=$$\frac{dx\,dy}{\pi\,(dx^2+z^2 dy^2)}e^{-\frac{(mx-z\,my)^2}{2(dx^2+z^2 dy^2)}}\left(e^{-\frac{\xi^2}{2}}+\sqrt{2\pi}\,\xi\,N(\xi,0,1)\right)$ .

При $mx=my=0$ имеем $\xi=0$ и распределение вырождается в $p(z)=\frac{dx\,dy}{\pi\,(dx^2+z^2 dy^2)}$ (обобщение Стьюдента :?: ).

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Feci, quod potui

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group