2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Суммы sin x+sin2x+...+sin nx, cos x+cos2x+...+cos nx
Сообщение06.09.2006, 06:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Нужна помощь с тождеством:

$ 1/2 + \cos \theta + \cos 2 \theta + \cos 3 \theta + ... + \cos n \theta = \frac {sin(n+1) \theta} {2 sin {\theta /2}}
и

$ \sin \theta + \sin 2 \theta + \sin 3 \theta + ... + \sin n \theta = \frac {\cos{\theta /2} - \cos (n+ 1/2) \theta}  {2 sin{\theta /2}}

Пробовал следующее:

$ (1/2 + z + z^2 + ... + z^n)(1-z) = 1/2(1 +z) - z^{(n+1)}

то есть
$ (1/2 + z + z^2 + ... + z^n) = \frac {1/2(1 +z) +-z^{(n+1)}} {(1-z)}  = \frac {1/2(1 +z) - z^{(n+1)}} {(1-z)} \frac {1 + \overline z} {1 + \overline z}

теперь когда беру отдельно вещественную часть и мнимую - получается что угодно, но не искомое равенство. Может просто оно неверно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.09.2006, 06:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Умножьте на $\sin(\theta/2)$ и раскройте произведения триг. функций в сумму. В комплексных числах тоже самое — домножение на $z^{1/2}-z^{-1/2}$. И будет Вам счастье :).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.09.2006, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Спасибо за подсказку :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.09.2006, 17:44 


04/02/06
122
СПИИРАН
незваный гость писал(а):
:evil:


Это эмоция такая постоянная или вездесущая или что-то вроде подписи?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.09.2006, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Off-topic: Это все три присущие мне виды вредности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.09.2006, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Если Вы хотели свести к геометрической прогрессии, следовало подставить $\cos k\theta=\frac 12\left(z^k+\frac 1{z^k}\right)$ и $\sin k\theta=\frac 1{2i}\left(z^k-\frac 1{z^k}\right)$, где $z=e^{i\theta}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group