2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 топологический вопрос
Сообщение28.08.2006, 20:55 
Заслуженный участник


09/02/06
4308
Москва
Существует ли многообразие с конечной некоммутативной фундаментальной группой?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 12:52 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Да, существует. Примеры есть среди узлов в $R^3$ - непрерывных вложений окружности в $R^3$. Если взять узел-"трилистник", то существует гомоморфизм его фундаментальной группы на группу симметрий правильного треугольника, в которой 6 элементов:3 поворота и 3 отражения. Если бы фундаментальная группа была коммутативной, то и ее образ при гомоморфизме был коммутативной, но это не так.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 13:00 
Заслуженный участник


09/02/06
4308
Москва
Любой узел изоморфен окружности, соответственно его фундаментальная группа Z.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 13:06 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Руст писал(а):
Любой узел изоморфен окружности, соответственно его фундаментальная группа Z.
Это так, если узел можно развязать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 13:13 
Заслуженный участник


09/02/06
4308
Москва
Нет любой узел как одномерное многообразие есть окружность. В теории узлов описывается разные вложения окружности в трёхмерное пространство. И два вложения изоморфны, если их дополнения в трёхмерное пространство изоморфны. У дополнений фундаментальная группа так же бесконечная.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 13:47 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Как топологические пространства узел и окружность гомеоморфны, узлы "различают" по фундаментальным группам их дополнений до $R^3$, поэтому я ошибся, говоря о фундаментальной группе самого узла в предыдущих постах, однако же для дополнения узла-трилистника всё сказанное выше про группу симметрий верно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 13:53 
Заслуженный участник


09/02/06
4308
Москва
Как я уже говорил, фундаментальная группа дополнения так же бесконечная группа. Я не против, что группа симметрий треугольника является факторгруппой его фундаментальной группы. Однако это не решает задачу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 14:05 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Насколько известно мне, фундаментальной группой называется множество классов эквивалентности завкнутых путей с началом и концом в фиксированной точке Х, на которых введена структура перемножения классов. Как следует из данного определения, группа G(x) зависит от точки, однако, если пространство линейно связно, то G(x) и G(y) изоморфны. Поэтому группа симметрий треугольника будет именно фундаментальной группой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 14:33 
Заслуженный участник


09/02/06
4308
Москва
Намотайте на узел k раз, так и останется k раз намотанным, т.е. группа бесконечная.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 16:36 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Имеется в виду дополнение узла до $R^3$. Возможно, сказывается отсутствие рисунков, но я пример придумал не сам, а взял из книги и университетских лекций.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2006, 20:22 
Заслуженный участник


09/02/06
4308
Москва
Но я ничего не понял, какой пример вы придумали.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 10:03 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Да, в моем примере(дополнение узла-трилистника) фундаментальная группа действительно бесконечна, почему-то я сразу это не понял. Кстати, Вы знаете верный ответ? То есть, стоит ли вообще искать пример?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2006, 19:22 
Заслуженный участник


09/02/06
4308
Москва
Вообще то я знаю только единственную нетривиальную конечную фундаментальную группу Z2, которая бывает у проективных пространств. Известно, что у топологических групп фундаментальная группа коммутативна. Если удастся эту группу факторизовать так, чтобы получилось конечное накрытые получим только конечную абелеву группу в качестве фундаментальной группы. А некоммутативной конечной фундаментальной группы думаю не бывает, хотя я не встречал никакого упоминания о таком факте.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.09.2006, 19:56 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Рассмотрим $S^3=\{a+bi+cj+dk|a^2+b^2+c^2+d^2=1\}$-группу единичных кватернионов. Рассмотрим некоммутативную группу $G$, порожденную элементами $1,\ i,\ j$. Теперь рассмотрим фактор-пространство $S^3/G$. $\pi_1(S^3/G)=G$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.09.2006, 20:26 
Заслуженный участник


09/02/06
4308
Москва
Да, я упустил, что у смежных классов (по не нормальной дискретной подгруппе), являющихся уже не группами, может быть некоммутативная фундаментальная группа.
А всё таки интересно, какие конечные группы могут быть реализованы как фундаментальные группы многообразий, а какие нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group