2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Определение числа e
Сообщение25.10.2010, 21:48 


20/12/09
1527
age в сообщении #366212 писал(а):
Меня заботит другой вопрос: почему большинство фундаментальных констант: $\pi$, $e$, $\phi$ - числа иррациональные. И только $0$, $1$ - натуральные. Может система счисления у нас выбрана неверно?

Представьте что Пи вдруг равнялась бы трем.
Тогда бы была теорема: длина окружности = три диаметра, и не было бы никакого Пи.

Поэтому любая константа с собственным именем не должна быть рациональной.

Пи и е не алгебраические числа, что не удивительно, ведь они получены своим путем,
а неалгебраических чисел больше, чем алгебраических, вероятность, что не алгебраическое = 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение числа e
Сообщение25.10.2010, 21:58 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Ales
я не о том. А что если нам выбрать другую систему исчисления, в которой $0,\ 1$ станут иррациональными, а $\pi,\ e,\ \phi$ - целыми.
Ведь что такое единица с точки зрения обывателя? Это по сути, один факт, который он твердо может сказать, что один.
Но мы ведь не обыватели и знаем, что сказать точно, что факт один (одно яблоко, к примеру) - это невозможно, т.к. противоречит квантовой механике (хотя бы), не говоря уже про то, что во времени вообще этот факт не существует: было яблоко и съели.
А вот $\pi,\ e$ - другое дело. Фундаментальные константы. Существуют всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение числа e
Сообщение25.10.2010, 23:23 


20/12/09
1527
age в сообщении #366237 писал(а):
Ales
я не о том. А что если нам выбрать другую систему исчисления, в которой $0,\ 1$ станут иррациональными, а $\pi,\ e,\ \phi$ - целыми.
Ведь что такое единица с точки зрения обывателя? Это по сути, один факт, который он твердо может сказать, что один.
Но мы ведь не обыватели и знаем, что сказать точно, что факт один (одно яблоко, к примеру) - это невозможно, т.к. противоречит квантовой механике (хотя бы), не говоря уже про то, что во времени вообще этот факт не существует: было яблоко и съели.
А вот $\pi,\ e$ - другое дело. Фундаментальные константы. Существуют всегда.

Рациональными называют отношения натуральных чисел (1, 2, 3,...).
А Вы предлагаете все перепутать. Ну и зачем?
$\pi$ и $e$ это не "фундаментальные константы", а математические объекты: отношение длины евклидовой окружности к ее диаметру и основание натурального логарифма.
"Фундаментальными константами" оперирует физика, например скорость света считается таковой.

Кроме того, $\pi$ и $e$ не совсем существуют, это ведь абстракции и мысленные конструкции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение числа e
Сообщение25.10.2010, 23:55 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Ales
фундаментальными являются константы, если они не зависят от внешних условий и для всех "ИСО" (так сказать, хотя совсем не ИСО, а много шире) - одинаковы.
В то что $c$ является таковой не верят 50% физиков (хотя бы тупо расширение Хаббла этому противоречит). И на то есть основания: СТО - одна из самых спорных и противоречивых теорий, ни по одной из теорий нет столько дебатов, сколько по СТО, в том числе и о том, является ли константой $c$.
Про $\pi$ и $e$ таких дебатов не ведется. Поэтому то, что эти константы фундаментальные (т.е. на них как на фундаменте строится целая система знаний и наук) - не вызывает сомнений ни у кого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение числа e
Сообщение26.10.2010, 00:12 


20/12/09
1527
age в сообщении #366282 писал(а):
Поэтому то, что эти константы фундаментальные (т.е. на них как на фундаменте строится целая система знаний и наук) - не вызывает сомнений ни у кого.

"константы фундаментальные" это у физиков.
А математики говорят просто: "числа".

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение числа e
Сообщение31.10.2010, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
Мне вообще отец в 4 года логарифмы объяснил... а про число $e$, производные и пределы я узнал намного позже...

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение числа e
Сообщение01.11.2010, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск

(Оффтоп)

Droog_Andrey в сообщении #368263 писал(а):
Мне вообще отец в 4 года логарифмы объяснил... а про число $e$, производные и пределы я узнал намного позже...


Кому было 4 года?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение числа e
Сообщение07.01.2011, 22:45 
Аватара пользователя


03/01/11
5
Вы еще забыли одно интересное представление числа e

$e = \prod \limits _{n=1}^{\infty } \left [ \left (\frac {2n}{2n-1}\right)^{2}{\left ({\frac { 2n^2+n-1}{2n^2+n }}\right)}^{2\,n} \right ]$

Как это можно популярно объяснить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение числа e
Сообщение08.01.2011, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Vasily в сообщении #396478 писал(а):
Вы еще забыли одно интересное представление числа e

$e = \prod \limits _{n=1}^{\infty } \left [ \left (\frac {2n}{2n-1}\right)^{2}{\left ({\frac { 2n^2+n-1}{2n^2+n }}\right)}^{2\,n} \right ]$

Как это можно популярно объяснить?

post347079.html#p347079
Вы, видимо, не до конца ту тему прочитали.

(Оффтоп)

Droog_Andrey в сообщении #368263 писал(а):
Мне вообще отец в 4 года логарифмы объяснил

:shock:
Низкий поклон вашему отцу

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение числа e
Сообщение12.05.2012, 12:58 


05/09/11
364
Петербург
Я не очень понимаю, как можно без пределов ввести число $e$, логарифмы и показательную функцию. Я знаю следущее определение показательной функции. Доказываем сначала, что существует предел: $e^x= \lim_{n \to \infty}{(1+\frac{x}{n})^n}$, для чего нужно доказать монотонность и ограниченность данной последовательности. Потом, пользуясь теорией пределов, доказываем все основные свойства показательной функции для экспоненты. Далее вводим логарифм $\ln(a)$ как решение уравнения $e^x=a$. Существование решения следует из непрерывности экспоненты и второй теоремы Больцано-Коши, единственность - из монотонности. Потом доказываем свойства логарифма. Затем определяем показательную функцию по произвольному вещественному основанию: $a^x= e^{xlna}$.
В хороших физ-мат школах показательную функцию и логарифмы вводят примерно так или через интегралы. Но через интегралы, по-моему, вводить неестественно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение числа e
Сообщение12.05.2012, 13:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Doil-byle в сообщении #570006 писал(а):
Доказываем сначала, что существует предел: $e^x= \lim_{n \to \infty}{(1+\frac{x}{n})^n}$,

Это не очень приятная исходная точка по двум причинам. Во-первых, общая показательная функция $a^x$ -- объект гораздо более естественный и к тому же давно уже привычный, чем какая-то загадочная (поначалу) $e^x$. Во-вторых, в этом определении совершенно не просматривается непосредственно основное свойство показательной функции $a^{x+y}=a^xa^y$. В общем, как-то это маловысокоидейно.

Я думаю, что гораздо лучше всё-таки действовать в лоб и доопределять общую показательную функцию с рациональных аргументов на вещественные по непрерывности (соображения непрерывности и вообще пределы придётся задействовать, разумеется, при любом подходе).

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение числа e
Сообщение12.05.2012, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
age в сообщении #366212 писал(а):
Меня заботит другой вопрос: почему большинство фундаментальных констант: $\pi$, $e$, $\phi$ - числа иррациональные. И только $0$, $1$ - натуральные. Может система счисления у нас выбрана неверно?


Ну, если взять в качестве основания системы счисления, например, $\pi$, то оно будет записано, как 1. Правда, все остальные так же, как в нашем мире, будут иррациональны.
А ещё появятся замечательные фразы типа "Первые несколько лет брака нас с женой было только 0,63661977236758134307553505349006, и лишь на 1,5915494309189533576888376337251-й год совместной жизни нас стало 0,95492965855137201461330258023509"
Уж извините за графику - сломило придумывать иррациональное число цифр.
Правда, введя избыточность, можно использовать целое. Скажем, основание $\phi$ при цифрах 0 и 1 имеет некоторое техническое применение, в построении АЦП и ЦАП. У него приятное свойство - нет более двух единиц подряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение числа e
Сообщение25.06.2012, 17:28 


06/05/12
10
Евгений Машеров в сообщении #570091 писал(а):
age в сообщении #366212 писал(а):
Меня заботит другой вопрос: почему большинство фундаментальных констант: $\pi$, $e$, $\phi$ - числа иррациональные. И только $0$, $1$ - натуральные. Может система счисления у нас выбрана неверно?


Ну, если взять в качестве основания системы счисления, например, $\pi$, то оно будет записано, как 1. Правда, все остальные так же, как в нашем мире, будут иррациональны.
А ещё появятся замечательные фразы типа "Первые несколько лет брака нас с женой было только 0,63661977236758134307553505349006, и лишь на 1,5915494309189533576888376337251-й год совместной жизни нас стало 0,95492965855137201461330258023509"
Уж извините за графику - сломило придумывать иррациональное число цифр.
Правда, введя избыточность, можно использовать целое. Скажем, основание $\phi$ при цифрах 0 и 1 имеет некоторое техническое применение, в построении АЦП и ЦАП. У него приятное свойство - нет более двух единиц подряд.

Можно и не $\pi$, а проще - http://www.trinitas.ru/rus/doc/0202/010a/02020028.htm (система Бергмана) :shock: с конечным числом цифр для натуральных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение числа e
Сообщение25.06.2012, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Я об этом выше упоминаю. Только использую $\phi$, а у Бергмана $\tau$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение числа e
Сообщение29.10.2014, 00:41 


15/04/10
985
г.Москва
с большим опозданием присоединяюсь к дискуссии.
Теперь в школьную программу ввели пределы производные интегралы.
подведем итоги определений
1)число e такое $(e^x)'=e^x$
2)$e=\lim (1+ \frac{1}{x})^x$
3)\ln x=\int \frac{1}{x}dx $
4)определение juna
1)требует знания производной 2)требует знания "2 замечательного предела" если строго - то даже его вывода, (как уже отмечено)что обычно дается в вузовских курсах матана
3) и 4) требуют знания определенного интеграла. Из них мне больше нравится 3) из-за его простоты. Но тогда получается что интегралы и производные надо определять раньше определения e
По поводу числа $\pi $ меньше хлопот - а оно очень нужно в школе даже для 8 кл. там определение Архимеда как отношение длины дуги полуокружности к радиусу. И вполне элементарно тогда выводится ф-ла
$S= \pi R^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 65 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group