Ряд Тейлора для сложной функции

[aon]

Можно ли и как разложить в ряд Тейлора сложную функцию?

[mihailm]

Это зависит от того, можно ли ее продифференцировать))

[maxal]

См. Faà di Bruno's formula

[ewert]

mihailm в сообщении #353605 писал(а):

Это зависит от того, можно ли ее продифференцировать))

кстати, далеко не только

[aon]

Предположим, что для сложной функции f(y(x)) и f и y являются непрерывными, гладкими и т.д. и т.п нужное количество раз и что дальше, каков алгоритм?

[mihailm]

формулы для коэффициентов ряда Тейлора категорически не подходят?

[maxal]

aon в сообщении #353789 писал(а):

Предположим, что для сложной функции f(y(x)) и f и y являются непрерывными, гладкими и т.д. и т.п нужное количество раз и что дальше, каков алгоритм?

Я же вам уже дал ссылку на формулу фаа ди Бруно. В чем проблема?!

[aon]

Похоже, что стандартное разложение невозможно использовать так как оно одномерно. Для функции нескольких переменных, как известно, такое разложение существует. Но сложная функция и функция нескольких переменных - это не одно и тоже. Поэтому заданный вопрос пока остается открытым.

-- Сб сен 18, 2010 16:54:38 --

Формула FAA Бруно это тождество, обобщающее правило цепи для высших производных. При чем здесь разложение в ряд Тейлора для сложной функции?

[ewert]

aon в сообщении #353800 писал(а):

Но сложная функция и функция нескольких переменных - это не одно и тоже.

Вот именно. Потому: при чём тут ФНП, когда речь всего-навсего о сложной функции?...

[maxal]

aon в сообщении #353800 писал(а):

Формула FAA Бруно это тождество, обобщающее правило цепи для высших производных. При чем здесь разложение в ряд Тейлора для сложной функции?

При том, что коэффициентами ряда Тейлора являются значения производных заданной сложной функции, которые можно вычислить по формуле фаа ди Бруно.

[mihailm]

aon
Слов нет, точнее их много, но все нецензурные

Приведите пример сложной функции, вся сложность которой в многопеременности, и нельзя использовать одномерное стандартное разложение, так как оно многомерно и не является сложной функцией, и все потому что вопрос открытый)))

[aon]

Ok! Предлагаю для умников представить вид ряда Тейлора хотя бы с первыми двумя членами для сложной функции f(y(x)) в окрестности точки x0 (ссылки на другие источники не предлагать, прошу представить именно выражение разложения)

[maxal]

aon
Вам же дана ссылка на формулу, неужели так сложно подставить?

$$f(g(x)) = f(g(x_0)) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-x_0)^n}{n!} \sum_{k=0}^n f^{(k)}(g(x_0)) B_{n,k}\left(g'(x_0),g''(x_0),\dots,g^{(n-k+1)}(x_0)\right),$$

где $B_{n,k}$ - полиномы Белла.

Можно и в совсем явном виде:

$$f(g(x)) = f(g(x_0)) + \sum_{n=1}^{\infty} (x-x_0)^n \sum_{1m_1+2m_2+\dots+nm_n=n\atop m_1, m_2, \dots, m_n\geq 0} \frac{f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x_0))}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!} \prod_{j=1}^n \left(\frac{g^{(j)}(x_0)}{j!}\right)^{m_j}.$$

[aon]

Спасибо!

А для функционала вида J(f+ag), где f = f(g,t), g = g(t) - вектор-функции, а - постоянная, аналогично?

[maxal]

aon
Подставьте сами.