Функциональные последовательности

[wall-e]

Ребят, проблемка возникла( а как разобраться я не знаю( есть 5 задачек по анализу которые неоч решаются( подскажите плиз)
сначала немного теории)
$p(f_{n},f)=\sup {|f_{n}(x)-f(x)|}$
$r(f_{n,}f)=\sqrt { \int \limits_{a}^{b} (f_{n}(x)-f(x))^2\, dx}$
1. Пусть вункции функциональной последовательности $f_{n}$ заданы на $X$, последовательность $f_{n}$ называется равномерно сходящейся к $f$, тогда и только тогда когда $p(f_{n},f)\to0$ <=> для любого $ \epsilon>0$ существует $N$ такое что для любого $n \ge N$ и любого $x$ из множества $X$ верно $|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$.
2. Пусть последовательность функций $f_{n}$ задана на $[a,b]$ , все функции интегрируемы на этом отрезке, тогда последовательность $f_{n}$ называется сходящейся в среднем квадратичном на отрезке $[a,b]$ к $ f$, тогда и только тогда когда $r(f_{n},f)\to0$
3. Функциональная последовательность называется сходящейся на множестве $X$, если она сходится как числовая последовательность в каждой точке этого множества. Назовем это точечной сходимостью)
задача: выяснить какой вариант сходимости из какого следует.
я выяснил, что
1) из равномерной $\Rightarrow$ точечная
2) из точечной $\not \Rightarrow$ равномерная
3!) из равномерной $\Rightarrow$ сходимость в среднем квадратичном
4!) из точечной $\not \Rightarrow$ сходимость в среднем квадратичном
5!) из сходимости в среднем квадратичном $\not \Rightarrow$ точечная и тем более не сходящаяся ни в одной точке
помогите пожалуйста с доказательством этих утверждений, особенно тех что помечены "!". Заранее огромное спасибо) плиз поскорее, на завтра очень надо... иначе беда(

[wall-e]

Братцы, спасайте)

[AD]

1. $\forall x_0\in X$ $|f_n(x_0)-f(x_0)|\le\sup\limits_{x\in X}|f_n(x)-f(x)|$.
2. $X=[0,1]$, $f_n(x)=\chi_{(0,\frac1n)}(x)$.
3. $\int_a^b((f_n-f)(x))^2\,dx\le\max\limits_{a\le x\le b}((f_n-f)(x))^2\cdot(b-a)$.
4. $a=0$, $b=1$, $f_n(x)=n^{2010}\chi_{(0,\frac1n)}(x)}$.

-- Вс сен 05, 2010 20:11:03 --

5. $a=0$, $b=1$, $\Delta_m^k=\bigl[\frac{k-1}{m},\frac{k}{m}\bigr]$ ($m\in\mathbb{N}$, $k=1,\ldots,m$), $f_n(x)=\chi_{\Delta_m^k}(x)$.

[wall-e]

AD
Спасибо))) поясните пожалуйста как понять второй пример и четвертый((( я не понимаю(

[Alexey1]

Эти примеры используют характеристические функции множеств, то есть

$$\chi_A(x)=\left \{ \begin{array}{l} 1, \ x \in A,\\ 0, \ x \notin A. \end{array}$$

[wall-e]

друзья, помогите плиз с доказательством пятого утверждения( че то у меня все, кроме последнего вышло((( плиииз.

[id]

Ну так [b]AD[b] же расписал. Рассмотрите указанную последовательность $f_n(x) = \chi_{\Delta_m^k}(x)$.
То есть
$f_1 = \chi_{\Delta_2^1}(x), f_2 = \chi_{\Delta_2^2}(x), $
$f_3 = \chi_{\Delta_3^1}(x), f_4 = \chi_{\Delta_3^2}(x), f_5 = \chi_{\Delta_3^3}(x), $
$f_6 = \chi_{\Delta_4^1}(x), f_7 = \chi_{\Delta_4^2}(x), f_8 = \chi_{\Delta_4^3}(x), f_9 = \chi_{\Delta_4^4}(x),\dots$
При этом $\int\limits_0^1 \chi_{\Delta_m^k}^2(x) dx = \frac 1 m$.

А теперь посмотрите на их графики.