Рекуррентное уравнение

[arseniiv]

Хочу решить уравнение $c_{n+1} = c_n^2 + \frac{4S}{c_n^2}$ (и пусть $a = c_0$) и не знаю как. Какими способами обычно такие решают? Или, может, решение нельзя получить в виде элементарной функции, но можно как-нибудь по-другому?

[Xaositect]

Тут был бред.

[arseniiv]

А что можно сказать про последовательность $b_n = \frac{2S}{c_{n-1}}$? Видно, что она сходящаяся, а вот сходится ли ряд $\sum_{n=1}^\infty b_n$? Кажется, что сходится.

[Null]

$c_n=a^{2^n}+O(\frac{1}{a^{2^n}})$- неправда. $\frac{c_n}{a^{2^n}} \to \infty$ при $a>1$
Вторая часть про то что $c_1>1$ тоже неправда.
При маленьких $S>0$ последовательность может быть все время меньше 1.

[Xaositect]

Ух е-мое, что это со мной сегодня... Видимо, изучение философии влияет :)
Согласен с Null, не читайте тот бред, что я там написал

[arseniiv]

А нельзя что-нибудь узнать о $b_n$?

[Null]

при a>1 $b_n=e^{(C+o(1))*2^n}$, Где С=С(a,S) -какое-то тяжело считаемое число.
И даже вроде $b_n=e^{C*2^n+o(1)}$

[paha]

Если решение (я имею ввиду предел последовательности) есть, то оно совпадает с решением уравнения $x=g(x^2+1/{x^2})$ (легко выразить $x$ через $c=\lim c_n$ и $S$, а $g$ через $S$). Вопрос сходимости сводится к вопросу о производных функции $f(x)=g(x^2+1/x^2)$... Нарисуйте графики $y=f(x)$, $y=x$ и на этой же плоскости эту рекуррентную последовательность.

[Null]

Как последовательность может быть числом?

[paha]

я имел ввиду предел последовательности... исправил и в исходном сообщении

[Null]

Сомневаюсь в устойчивости этого предела. Он наверно достигается только на постоянной последовательности.

[arseniiv]

($\mathrm{P.^{-1}\ S.}$ Не видел, что много сообщений написали.)

Нет, теперь мне кажется, что ряд из $b_n$ расходится. Вообще, все эти последовательности появились в результате вот чего:
У нас есть треугольник с площадью $S$ и катетами $a = c_0$ и $b = b_1$ и гипотенузой $c_1$. Построим на гипотенузе как на катете другой треугольник $(c_1;\,b_2;\,c_2)$ той же площади, а потом ещё и ещё. Из $b$-катетов получится ломаная, интересная в длине.

Ай!! Я неправильно написал самую первую формулу! Надо $c_{n+1} = \sqrt{c_n^2 + \frac{4S}{c_n^2}}$.

[Null]

А это всегда стремиться к бесконечности ))

[paha]

да, к бесконечности)))

уравнение $x=x+1/x$ не имеет решений

-- Сб сен 04, 2010 19:51:27 --

ewert в сообщении #349643 писал(а):

Ну, во-первых, там не икс, а икс квадрат. А во-вторых, не единица, а что-то там в числителе. И почему не имеет-то?...

$$ x=\lim\limits_{n}\frac{c_n^2}{2\sqrt{S}} $$

если предел существует