2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Суммы тройной прогрессии
Сообщение14.08.2006, 23:56 
Аватара пользователя


17/06/06
36
Odessa
Докажите что из членов ряда 1,3,9,27,81 и т.д., если брать только различные члены, путем сложения и вычитания можно получить решительно все числа.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.08.2006, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Троичная сбалансированная система записи, а что?

surfer писал(а):
решительно все числа

Ну, это Вы загнули. Натуральные — можно, причем единственным способом. А вот 0 попробуйте…

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.08.2006, 06:17 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Можно представить не только натуральные, но и все целые, отличные от нуля.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.08.2006, 09:08 
Аватара пользователя


17/06/06
36
Odessa
изначально в условии подразумеваются натуральные числа.
задание выросло из задачи о взвешиваниях при помощи одного набора гирь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.08.2006, 12:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Если договориться, что сумма, не содержащая ни одного слагаемого, равна 0, то и 0 можно представить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.08.2006, 12:36 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Всё правильно, и это соответствует взвешиванию гирями, ставя их слева или справа. Если равновесие без всяких гирь, то вес равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.08.2006, 17:51 
Аватара пользователя


17/06/06
36
Odessa
Замечательное доказательство этой задачи принадлежит Эйлеру:

Цитата:
Чтобы показать истинность этого, я рассмотрю такое бесконечное произведение $$
\left( {{\rm x}^{{\rm  - 1}}  + 1 + {\rm x}^{\rm 1} } \right)\left( {{\rm x}^{{\rm  - 3}}  + 1 + {\rm x}^{\rm 3} } \right)\left( {{\rm x}^{{\rm  - 9}}  + 1 + {\rm x}^{\rm 9} } \right)\left( {{\rm x}^{{\rm  - 27}}  + 1 + {\rm x}^{{\rm 27}} } \right)
$$ и т.д. $$
 = P
$$;
При развертывании оно даст такие степени , которые могут быть образованы из числел 1, 3, 9, 27, 81 и т.д. путем сложения или вычитания. Для того чтобы узнать, получатся ли в самом деле все степени, каждая по одному разу, я поступлю так.
Пусть $$
P = 
$$ и т.д. $$
 + cx^{ - 3}  + bx^{ - 2}  + ax^{ - 1}  + 1 + \alpha x + \beta x^2  + \gamma x^3  + \delta x^4  + \varepsilon x^5  + 
$$ и т.д.;
Ясно, что если написать $$
x^3 
$$ вместо $$
x
$$, то получится
$$
{P \over {{\rm x}^{{\rm  - 1}}  + 1 + {\rm x}^{\rm 1} }} = 
$$ и т.д. $$
 + bx^{ - 6}  + ax^{ - 3}  + 1 + \alpha x^3  + \beta x^6  + \gamma x^9  + 
$$ и т.д.
Отсюда находим
$$
P = 
$$ и т. д. $$
 + ax^{ - 4}  + ax^{ - 3}  + ax^{ - 2}  + x^{ - 1}  + 1 + x + \alpha x^2  + \alpha x^3  + \alpha x^4  + \beta x^5  + \beta x^6  + \beta x^7  + 
$$ и т. д.;
Это выражение в сравнении с вышеуказанным дает
$$
\alpha  = 1
$$ , $$
\beta  = \alpha 
$$ ,$$
\gamma  = \alpha 
$$ , $$
\varepsilon  = \beta 
$$, $$
\xi  = \beta 
$$ и т. д.
и
$$
a = 1
$$, $$
b = a
$$, $$
c = a
$$, $$
d = a
$$, $$
e = d
$$ и т.д.
Итак, отсюда
$$
P = 1 + x + x^2  + x^3  + x^4  + x^5  + x^6  + x^7  + 
$$ и т. д.
$$
 + x^{ - 1}  + x^{ - 2}  + x^{ - 3}  + x^{ - 4}  + x^{ - 5}  + x^{ - 6}  + x^{ - 7}  + 
$$ и т. д.
Ясно, что здесь будут встречаться все степени , как положительные, так и отрицательные, и что, следовательно, можно получить все числа из членов тройной геометрической прогрессии путем сложения или вычитания, причем каждое число только одним способом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.08.2006, 18:12 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Это называется использование производящей функции. Но в этом случае результат тривиален и без этого. Для каждого числа n имеется такое k, что $\frac{2n}{3}\ge 3^k<2n$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.08.2006, 21:13 
Аватара пользователя


17/06/06
36
Odessa
Я бы не назвал результат тривиальным, скорее отнесу его к общеизвестным результатам типа теоремы пифагора. Меня побудило рассказать о этой задаче эйлеровское доказательство.

Полностью согласен, можно доказать быстрее, воспользовавшись троичной системой записи, как предлогал незваный гость.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.08.2006, 21:40 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
На самом деле эту задачу легко обобщить. Например имеется по две гири с достоинствами 1,5,25,125,... Это уже экономнее (требуется меньшее количество гирь для взвешивания больших весов). Можно ещё экономнее по k гирь с достоинствами $1,m,m^2,m^3,...$, \ m=2k+1.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.08.2006, 22:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Ошибся насчёт экономичности. Легко доказать, что самый экономный набор это троичная система. Т.е. если набором из n гирь $m_1,m_2,...,m_n$ можно всвесить любые веса, выраженные натуральным числом вплоть до веса N(n), максимальное значение достигается в троичной системе и равно $max N(n)=\frac{3^n-1}{2}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group