2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неопределенный интеграл
Сообщение05.08.2006, 18:12 
Аватара пользователя


17/06/06
36
Odessa
\[
\int {\left( {\sqrt x  + p} \right)^{ - \frac{p}{{p - q}}} \left( {\sqrt x  + q} \right)^{ + \frac{q}{{p - q}}} \left( {\sqrt x } \right)^{ - 3} dx} 
\]
Какие есть идеи?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.08.2006, 18:16 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
За независимую переменную брать $\sqrt x $ и выразить через Бета функцию.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.08.2006, 09:35 
Аватара пользователя


17/06/06
36
Odessa
интеграл берется в элементарных функциях

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.08.2006, 15:25 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Да, вы правы. Сумма степеней равно 1 (частный случай).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.08.2006, 17:48 
Аватара пользователя


17/06/06
36
Odessa
$$
 - 2p^{ - 1} q^{ - 1} (x)^{ - {1 \over 2}} \left( {\left( {(x)^{{1 \over 2}}  + q} \right)^{ + {p \over {p - q}}} \left( {(x)^{{1 \over 2}}  + p} \right)^{ - {q \over {p - q}}} } \right)
$$

ЗЫ. Действительно частный случай - в фихтенгольце не нашел указаний как его интегрировать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.08.2006, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Похоже, тут мало суммы степеней. Имеет значение и то, что $x+p$, $x+q$…, id est, слагаемые связаны со степенями.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.08.2006, 21:01 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
При переходе к переменной $$z=\frac{\sqrt x +p}{\sqrt x +q}$$ интеграл приводится к форме: $$2\int \frac{z^a(1-z)dz }{qz-p} .$$
Здесь $a=\frac{q}{q-p}$, ссоответственно берётся это в элементарных функциях или нет зависит от а, т.е. от отношения p/q. В общем случае этот интеграл кажется выражается через вырожденную гипергеометрическую функцию.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.08.2006, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
После замены переменной $\sqrt{x}$:

Рассмотрим $(x-\alpha_1)^{a_1}(x-\alpha_2)^{a_2}(x-\alpha_3)^{a_3}$. Его производная, очевидно, $(p x^2 + q x + r) (x-\alpha_1)^{a_1-1}(x-\alpha_2)^{a_2-1}(x-\alpha_3)^{a_3-1}$. В общем случае это нам никак не помогает, но существует три исключения:
1) Когда $p = q = 0$. Тогда производная равна $(r) (x-\alpha_1)^{a_1-1}(x-\alpha_2)^{a_2-1}(x-\alpha_3)^{a_3-1}$ — аккурат наш случай.

2) Когда $p = 0$ и $ q \alpha_j + r = 0$ для некоторого $j$, т.е. один из $\alpha_j$ — корень полинома.

3) Когда 2 из трех $\alpha$ — корни полинома $p x^2 + q x + r$.

Каждый из этих частных случаем легко приводится к условиям на коэффициенты подинтегрального выражения. Например, в первом случае $a_1 + a_2 + a_3 = 0 \wedge a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2 + a_3 \alpha_3 = 0$, т.е. легко проверяется.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.08.2006, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Руст писал(а):
$$2\int \frac{z^a(1-z)dz }{qz-p} .$$

У меня получилось $2\int \frac{z^{\frac{p}{q-p}}(1-z) }{(qz-p)^2} {\rm d}z.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.08.2006, 22:55 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Возможно я ошибся. В любом случае, в случае, когда а рациональное число, то приводится к интегрированию рациональной функции, т.е. интегрируются в элементарных функциях.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.08.2006, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Руст писал(а):
когда а рациональное число

$a = \frac{p}{p-q}$ не обязательно рациональное, поскольку $p$, $q$ не обязаны быть рациональными. Да это нигде и не требуется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group